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-1-二次函数讲座问题选讲1．二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2y=（ax-h）2y=a（x-h）2+ky=ax2+bx+c顶点坐标对称轴2．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象；当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-2ba，顶点坐标是（-2ba，244acba）．3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若a0，当x≤-2ba时，y随x的增大而减小；当x≥-2ba时，y随x的增大而增大．若a0，当x≤-2ba时，y随x的增大而增大；当x≥-2ba时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；（2）当△=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=│x1-x2│=||a．当△=0，图象与x轴只有一个交点；当△0，图象与x轴没有交点．当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0．5．用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）．（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）．（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）．6．二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目．因此，以二次函数知识为主的综合性题目是热点考题，往往以大题形式出现．-2-例题剖析例1（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2-1，则抛物线A所对应的函数表达式是（）（A）y=-2（x+3）2-2;（B）y=-2（x+3）2+2;（C）y=-2（x-1）2-2;（D）y=-2（x-1）2+2例2（2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个解x的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.07（A）3x3.23（B）3.23x3.24（C）3.24x3.25（D）3.25x3.26例3（2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）函数y=ax2+bx+c图象的大致位置如右图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）2-b2，（a+b）2-c2，b2-a2等代数式的值中，正数有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个例4（2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）一条抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）（A）只有a（B）只有b（C）只有c（D）只有a和b例5（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区）初赛试题）设b0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一，则a的值是（）（A）1（B）-1（C）1515()22D例6（2006年芜湖市鸠江区初中数学竞赛试题）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是__________．-3-例7（2005年全国初中数学竞赛试题）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）（A）h1（B）h=1（C）1h2（D）h2例8（1993年江苏初中数学竞赛试题）已知mn是两位数，二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间距离不超过2．（1）求证：0m2-4n≤4；（2）求出所有这样的两位数mn．例9（1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数y=x2-│x│-12的图象与x轴交于相异两点A，B，另一抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c．例10（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）已知二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1．（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x-m+1图象的顶点P，求此时m的值．例11（2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛决赛试题）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平衡的状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．例12（2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））已知A1、A2、A3是抛物线y=12x2上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．（1）如图（a），若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；（2）如图（b），若将抛物线y=12x2改为抛物线y=12x2-x+1，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；-4-（3）若将抛物线y=12x2改为抛物线y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．例13设抛物线C的解析式为y=x2-2kx+（3+k）k，k为实数．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切，设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OAOB），试问：OAOB是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．巩固练习一、选择题1．直线y=52x-2与抛物线y=x2-12x的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）互相重合的两个2．关于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）①当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．（A）①②③④（B）①②③（C）①②（D）①③④3．若函数y=ax的图象经过点（1，-2），那么抛物线y=ax2+（a-1）x+a+3的性质说得全对的是（）（A）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交（B）开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交-5-（C）开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交（D）开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交4．函数y=ax2与y=ax（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）5．如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（）（A）b=5（B）b=-5（C）b=±5（C）b=4（第5题）（第5题）6．不论x为何值，函数y=ax+bx+c（a≠0）的永远小于0的条件是（）（A）a0，△0（B）a0，△0（C）a0，△0（D）a0，△07．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（）（A）有两个不相等的正实数根（B）有两个异号实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根8．为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：①a-160；②-160a0；③a-b+c0；④0b-12a，其中正确的结论是（）（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④-6-(第8题)(第12题)(第15题)9．已知：二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（-24,24bcb），AB=│x1-x2│，若S△APB=1，则b与c的关系式是（）（A）b2-4c+1=0（B）b2-4c-1=0（C）b2-4c+4=0（D）b2-4c-4=010．若函数y=12（x2-100x+196+│x2-100x+196│），则当自变量x取1、2、3、…、10这100个自然数时，函数值的和是（）A.540;B.390;C.194;D.9711．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有（）（A）最小值0（B）最大值1（C）最大值2（D）有最小值1412．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（）（A）ac+1=b（B）ab+1=c（C）bc+1=a（D）以上都不是13．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是（）（A）0S2（B）S1（C）1S2（D）-1S114．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）（A）8（B）14（C）8或14（D）-8或-1415．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）如图，直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴，则有（）（A）a+b+c=0（B）ba+c（C）c2b（D）abc0二、填空题1．二次函数y=ax2+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是________．2．已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=________，交点坐标为________．-7-3．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4）和B（8，2）（如图所示），则能使y1y2成立的x的取值范围是________．(第3题)(第6题)(第9题)4．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：_______．5．对于反比例函数y=-2x与二次函数y=-x2+3，请说出它们的两个相同点①______②________；再说出它们的两个不同点①______，②_______．6．如图，已知点M（p，q）在抛物线y=x2-1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根，则弦AB的长等于____