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1小学奥数应用题培训一．小学奥数常用解题方法二、小学奥数应用题类型及分析一．小学奥数常用解题方法数学问题千变万化，但变化中又存在着许多规律性的东西，就是解题的科学方法。学生学过的知识很快就会忘记，但铭记于头脑中的数学思想方法却长期在他们的头脑中发挥着重要作用。为此，奥数的培训应着重于思想方法的培训，每种方法之间并不是孤立的，没有联系的，而是紧密相连、互为补充。当然，吃透原理，是学好奥数的根本保证；掌握方法，是攻克难题的有力武器。只有弄清原理，才能思路清晰、从容答题；只有掌握方法，才能融会贯通、举一反三。奥数常用的解题方法有：1.直观画图法：解奥数时，如果能合理地、科学的、巧妙地借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”和“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。例1：A、B、C、D、E五人进行乒乓球单循环赛，比赛进行了一段时间后，已赛场次做了一次统计：A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场。这时E赛了几场？例2：一捆电线，第一次用去全长的一半多3米。第二次用去余下2的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原有多少米？2.倒推法：从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中的问题得到解决。例1：书架有上、中、下三层，一共放了192本书，现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下本书同样多的书放到上层，这时三层所放的书的本数相同。原来书架上层有多少本书？例2：小芳每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个。肥皂泡吹出以后，经过一分钟有一半破了；经过2分钟还有1/20没破；经过2.5分钟全部都破了。小芳吹完100次时，没有破的肥皂泡共有多少个？3.枚举法：奥数题中常常会出现一些数量关系非常特殊的题目，用我们小学的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举基本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。例：在所有三位数中，各位数字之和是19的倍数的共有（）个。4.正难则反：有些数学问题如果你从条件出发正面考虑有困难，那么你可以改变思考方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得以解决。例1：除本身之外，合数7854321的最大因数是多少？例2：设1,3,9，27,81,243时6个给定的数，从这6个数中每次3取一个，或取几个不同的数（每个数只能取一次）求和，可以得到一个新数，如果把他们按从小到大的顺序依次排列起来是1,3,4,9,10,12，…那么第60个数是多少？5.巧妙转化：在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过表面，抓住问题的实质，将问题转化为自己熟悉的问题去解答。转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。例：学生在操场上列队做操，只知人数在90至110之间，如果排成3列不多也不少；如果排成5列则少2人；如果排成7列则少4人。一共有多少个学生？6.整体把握：有些奥数题，如果从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，如果能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形势、整体结构、局部与整体的内在联系，来求得问题的解答。例：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是10千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时走7千米，这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边走，碰到甲时它又往乙这边走，直到两人碰头，这只狗一共走了多少千米？二、小学奥数应用题类型及分析（一）典型应用题根据应用题的结构形式及数量关系，用特定的方法（或公式）来解答的应用题叫典型应用题。常见的有植树问题、和差倍问题（即和倍问题、差倍问题、和差问题）、年龄问题、鸡兔同笼问题、盈亏问题、4还原问题、牛吃草问题、经济问题等。1.【植树问题】（1）不封闭线路的植树问题：间隔数+1=棵数；（两端植树）路长÷间隔长+1=棵数。或间隔数-1=棵数；（两端不植）路长÷间隔长-1=棵数；路长÷间隔数=每个间隔长；每个间隔长×间隔数=路长。（2）封闭线路的植树问题：路长÷间隔数=棵数；路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长；每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。2.【和差倍问题】和差倍问题是由和差问题、和倍问题、差倍问题三类问题组成的。和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题，一般可应用公式：数量和÷对应的倍数和=“1”倍量；差倍问题就是已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求大小两个数的应用题，一般可应用公式：数量差÷对应的倍数差=“1”倍量；和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数的应用题，一般可应用公式：大数=（数量和+数量差）÷2，小数=（数量和-数量差）÷2。为了帮助我们理解题意，弄清题目中两种量彼此间的关系，常采5用画线段图的方法以线段的相对长度来表示两种量间的关系，以便于找到解题的途径。例：两根同样长的蜡烛，第一根烧掉15厘米，第二根烧掉3厘米。剩下的长度，第二根是第一根的4倍。蜡烛原来长多少厘米？解:这是差倍问题，因为两根蜡烛同样长，第一根比第二根多烧掉12厘米，则第二根剩下的比第一根多12厘米，（15-3）÷(4-1)=4(厘米）4+15=19（厘米）。3.【年龄问题】基本的年龄问题可以说是和差倍问题生活化的典型应用。同时，年龄问题也有其鲜明的特点：(1)两个人的年龄差始终保持不变，（2）两个人的年龄随着岁月的变化而增加或减少同一个自然数，(3)两个人的年龄的倍数关系随着岁月的变化而不断变化，年龄增大，倍数变小。解决年龄问题，关键就是要抓住以上几点。例1：哥哥两年后的年龄是弟弟年龄的2倍，今年哥哥比弟弟大5岁，那么今年弟弟多少岁？解：由于两人之间的年龄差不变，在2年之后哥哥仍然比弟弟大5岁，那时哥哥是弟弟年龄的2倍，这就变成了一道差倍问题，也就是说弟弟的年龄在2年后是5÷（2-1）=5（岁），所以今年弟弟5-2=3（岁）。例2：今年，爷爷的年龄是小明的6倍；几年之后，爷爷的年龄变成小明的5倍；又过了几年以后，爷爷的年龄又变成了小明的4倍；求爷爷今年是多少岁？分析：爷爷的年龄和小明的年龄的差永远都是不变的；那么刚开6始时，爷爷的年龄比小明大（6-1）倍，后来又大（5-1）倍，再后来大（4-1）倍；因此，爷爷和小明的年龄之差是3、4、5的公倍数，也就是说是60的倍数，这样，按照常理，爷爷应该比小明大60÷（6-1）=12（岁)。爷爷今年12×6=72(岁)。4.【鸡兔同笼问题】鸡兔同笼问题常用假设法求解，先假设一个未知数是题中给出的已知量，推算结果与题中对应数不符，再加以调整即可得到正确答案。例1：正方形客厅边长12米，若正中铺一块正方形纯毛毯，外围铺化纤地毯，共需费用22455元。已知纯毛地毯每平方米250元，化纤地毯每平方米35元，求出铺在外围的化纤地毯的宽度是多少米？（第6届华杯赛决赛题）解：纯毛地毯的面积：(22455-12×12×35)÷(250-35)=81(平方米）则纯毛地毯的边长是9米，化纤地毯宽度是（12-9)÷2=1.5(平方米）.例2：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在有这三种小虫共25只，总共有170条腿和23对翅膀，那么每种小虫各有多少只？解：假设蜘蛛也是6条腿：（170-6×25）÷（8-6）=10（只）…蜘蛛蜻蜓和蝉共有25-10=15（只），又假设这25只全是蝉，则蜻蜓有：（23-1×15）÷(2-1)=8（只），蝉有15-8=7（只）。说明：在“鸡兔同笼”问题中,如果两种小动物的腿数(或翅膀7数)相同，那么这两种小动物可以看做同一类来计算。5.【盈亏问题】把一定数量物品平均分给固定的对象会产生多余或不足的现象。盈亏问题包括分配结果有盈有亏、都盈、都亏等几种类型。盈亏问题常用比较法解题。（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子或8×8+7=71（个）（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。例如:“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人）45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。例如:“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”8解（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略）（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数。例2：有一群小朋友分一堆苹果，如果每人分5个，就会剩下4个苹果，这时走了3个小朋友，那么每人分6个还会剩4个。问：原来一共有多少个苹果？解：分析：对于“盈亏”问题，需要明确的是在人数不变的情况下，两种分配方案中盈（或亏）的数量。而在第二种情形中，“走了3个小朋友”使得人数发生了变化，必须先让他们回来才行，这样分配的结果就不是“还剩4个”了。解:假设没有小朋友离开，那么每人分6个苹果的，苹果的个数就不够了，还差6×3-4=14（个）。利用盈亏问题的基本方法和公式，可得小朋友的人数：（14+4）÷（6-5）=18（人）。苹果的总数是：18×5+4=94（个）。说明：条件中看似两种情形都有剩余，但由于人数发生了变化，所以实际第二种情形中苹果不足，这也告诉我们一定要注意人数应该是不变的。例3：幼儿园准备了很多梨和苹果，苹果总数是梨的4倍。每个小朋友分得9个苹果和2个梨后，还剩下了2个苹果和4个梨，那么9原来一共有多少个梨？分析：题目中只给出了一种分配方案，只能利用“苹果总数是梨的4倍”再假想出另一种分配方案了。为了便于比较，假想第二种分法是每个小朋友分得8个苹果和2个梨，这样每个小朋友分得的梨的数量没有变化，应该还是剩下4个梨，而苹果总数是梨的4倍，所以剩下的苹果也是梨的4倍，有4×4=16（个）。解：假设每个小朋友分得8个苹果和2个梨，则剩下16个苹果和4个梨，对比另一个条件：每个小朋友分得9个苹果，则剩下2个苹果，可得小朋友的人数是：（16-2）÷（9-8）=14（人）。梨的数量是：14×2+4=32（个）。说明：在这个例题中，我们假想了一种新的分配方案。6.【还原问题】从题目所述的最后结果出发，利用已知条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。例1：书架有上、中、下三层，一共放了192本书，现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下本书同样多的书放到上层，这时三层所放的书的本数相同。原来书架上层有多少本书？解：首先，各层最后的本书可求出来，是192÷3=64（本),然后用列表法倒推。例2：吹泡机一次能吹出80个肥皂泡。每分钟吹一次，肥皂泡吹出之后经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有1/20没破，经10过2.5分钟后全破了。吹泡机连续吹出100次后，没有破的肥皂泡有多少个？解:因为一次吹的肥皂泡经过2.5分钟后会全部破掉，所以吹泡机吹完100次时，已经过了100分钟，前面所吹的大部分都破了，所以只要采用倒推法，考虑最后几次的情况就可以了。80+80×1/2+80×1/20=124（个）.7.【牛吃草问题】牛吃草问题引自著名的牛顿问题。牧场上有若干头牛在吃草，由于牧草不是固定的，而是不断生长着的，解题时要计算新生草量和原有草量，这是关键。每天新长