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五年级奥数第十三讲染色中的抽屉原理例1:平面上有ABCDE点。。。染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法。【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【分析】划一个57的方格表，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。【例2】右图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？【分析】采用染色法。如右下图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A。[巩固]有一次车展共6636个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?[分析]如右下图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室。AA【例3】右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【分析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有232245个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了。从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）。因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●。也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。【例4】右图是由14个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？【分析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格。相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。马【例5】11个和5个能否盖住88的大正方形？【分析】如右图，对88的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑。则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数。而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住。注意：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白。这是一个容易犯错的地方。[前铺]能否用9个所示的卡片拼成一个66的棋盘？[分析]不能。将66的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格。[巩固]如右图，缺两格的88方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙?[分析]这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。【例6】用若干个22和33的小正方形能不能拼成一个1111的大正方形？请说明理由。【分析】如右图所示，将22或33的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用22和33的小正方形，不可能拼成1111的大正方形。[拓展]1个22正方形和15个41长方形能不能拼出88的大正方形?请说明理由。[分析]若仍然将88的大正方形黑白相间染色，则22和41两种形状盖住的都是两白两黑。必须寻找其他的染色方法。新的方法必须使得22和41长方形无论放在何处，都分别符合一定的规律。采用如右图的染色方法，则：41长方形必盖住两黑两白，共15个41，盖住30黑30白；22长方形可盖住3白1黑或3黑1白。可以发现，总共只能盖住31黑33白或31白33黑，而图中实际有32个黑格32个白格，故不可能用15个41和1个22的长方形盖住88的大正方形。对区域染色也可理解为对多个方格染色，但此时方格染色范围更广，染色方案更加灵活。【分析】如果我们可以把6个电话或8个电话做到每台电话与5个电话相连接，我们可以将2002分成6个一组的共331组以及8个一组的共2组。如下图，每个点代表一台电话，每条线段表示其两个端点为相连接的两台电话，左图为6台电话的情形，右图为8台电话的情形。所以我们可以把2002台电话中的每台电话恰好与其它5台相连。【例9】下图是八间房子的示意图，相邻两间房子都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？【分析】8只有一个口，只能选择进B；7有两种选择，可以选择进B也可以选择进8，所以7有2种走AB87654321法；依此类推，每间房间的走法种数如下：81;72;63;55;48;313;221;134。所以从A点开始有213455（种）。【例11】右图是一个45的方格盘。先将其中的4个方格染黑，然后按以下规则继续染色：如果某个格与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？【分析】开始时染黑4个方格，这4个方格的总周长不会超过4416，以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格有公共边，所以染黑后，所有黑格的总周长不会增加。也就是说，所有黑格的总周长永远不会超过16，而45方格盘的周长是18，所以不能将整个方格盘都染成黑色。【例12】如图，图1的88方格中交替填满了0和1，图2是从图1中任意位置截取的、、三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加1或同时减1，如此反复多次，再将这三种图形不重叠地拼成的。问：图2中的A格中的数字应该是多少？00000000000000000000000000000000图111111111111111111111111111111111图2111111111111111111A111111111111111111111111111111111111111111111