奥数讲座一次不定方程

奥数讲座一次不定方程第1页共9页奥数讲座一次不定方程经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。内容综述：我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程，解这个方程可得。如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程。显然这个方程有无数多组解。比如等。这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。要点讲解：§1、二元一次方程的整数解例1求方程的整数解解若x,y为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。由上例可以得到下面的定理定理1若二元一次不定方程，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理2若整数a,b互素，则方程有整数时，同时方程也有整数解。若是方程的一个整数解，则是方程的一个整数解。★★例2求方程的整数解解设x,y是已知方程的整数解由x,y之中较小的系数4去除各项得奥数讲座一次不定方程第2页共9页把和中的整数分离出来，得因为5-y和x都是整数，则也是整数，设，k为整数，则，把代入已知方程得所以是方程的整数解，并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。当k=0，得x=4,y=1，这是方程的一组解，而解的表达式中k的系数5与4，也是已知方程中y与x的系数。一般地。有下面的规律。定理3如果a，b互素，且方程有一组整数解，则此方程的所有整数解可表示为。这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明。由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解。★★★例3求方程的正整数解。解因3和5互素，所以原方程有整数解，首先观察出方程①的一组整数解。显然，即x=2,y=-1是方程①的一组解。于是x=56,y=-28是已知方程的一组解，故原方程的所有整数解为为求正整数解，可以解不等式组得。即k=-10,-11,此时原方程的正整数解为说明对于系数较大的不定方程，用观察法去求其特殊解比较困难，这时可以用分离整数法或辗转相除法求其特解。奥数讲座一次不定方程第3页共9页★★★★例4求方程的所有正整数解。解用x,y中较小的系数除方程各项得①分离整数为②因为x,y是整数，故也是整数，于是有。再用较小的系数5除以方程各项，得③含（整数），由此得④由观察和是方程④的一组解，将代入③得y=2,y=2代入②得x=25，于是方程①有一组解x=25,y=2，所以原方程的一切整数解为（t为整数）由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为★★★★★例5求方程的所有整数解。解先利用辗转相除法求方程的一组整数解。，①②奥数讲座一次不定方程第4页共9页③为用41和177表示①，把②代入③得④把①代入④得即，由此可知，是方程的一组解。于是是原方程的一组整数解，于是原方程的所有整数解为（k为整数）§2、一次不定方程组的整数解解不定方程组的基本思想仍然是消元。通过消去未知数z，将问题转化为解不定方程★★★★例6某自然数与13的和是5的倍数，并且与13的差是6的倍数，求这样的自然数中最小的3个。解，设这个自然数为x,依题意得两式相减，消去x，得③可解得整数解(k为整数)代回①或②均得奥数讲座一次不定方程第5页共9页由，得，解得k=1，-1，-2，…，故x最小的3个值是7，37，67。§3、多元一次不定方程的整数解对于多元一次不定方程可以把方程化为二元方程来求解。★★★★★例7求方程的整数解。解方程变形为，设（t为整数）①则②对于方程②可以观察出x=-t，y=t是其一组解，因而方程②的所有整数解为（为整数）③对于方程①可以观察出是它的一组解，因而方程①的所有整数解为（为整数）将代入③，得原方程的所有整数解为（均为整数）★★★★★例8（百钱买百鸡）今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只。用100个钱，买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解，设公鸡、母鸡、小鸡各买了x,y,z只，由题意列方程组①化简得③—②得即由观察可得是方程的一组解，于是是方程的一组解，因而的所有整数解为奥数讲座一次不定方程第6页共9页（t为整数）由题意知，，所以解之得故由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x,y,z还应满足txyz264187827811812812484即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡。思维训练题A级★1、下列不定方程（组）中，没有整数解的是（）（A）（B）（C）（D）★★2、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有（）（A）1种（B）2种（C）3种（D）4种★★3、在方程的正整数解中，使的值最小的解是__________。★★★4、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3倍，那么这样的两位数的个数是______。★★★5、（1）求方程的所有正整数解。奥数讲座一次不定方程第7页共9页（2）求方程组的正整数解。B级★★6、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需（）（A）6元（B）8元（C）9元（D）10元★★★7、现有3个既约真分数、、（a,b,c都是自然整数）。如果这3个分数的分子都加上c，分母不变，则所得3个分数的和为6，那么原来的3个既约分数的乘积是（）（A）（B）（C）（D）★★★8、99名学生去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果这些学生把租来的船都坐满，那么大船和小船应分别租________只。★★★★9、旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？参考答案A级1、（C），提示：显然（A）有解（0，0），（B）有解（5，4），（D）有解（0，-1，1），故选（C）。2、（C），提示；设壹圆、贰圆、伍圆的人民币各需x,y,z张，依题意得，问题转化为求上述方程所组成方程组的非负整数解。3、x=16,y=19，提示：不定方程的整数解为为求正整数解，解不等式解得，即k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5，而，故k=-1时，最小。4、27，提示；设两位数为，依题意得，即7a=2b，因为7与2互素，所以2|a，7|b又1≤a≤9,0≤b≤9,所以只有a=2,b=7，故只有=27。奥数讲座一次不定方程第8页共9页5、（1）可以观察x=-1,y=9，是方程的一组整数解，则方程的解为（k为整数），为求正整数解，需解不等式组解得于是k=1，即原方程只有一组正整数解x=2,y=4。（2）消去Z，得。①方程①的所有整数解为（k为整数）代入原方程组，得所有整数解为（k为整数）由，得得k=-1,0。故原方程组有两组正整数解B组6、（A）提示：设甲、乙、丙三种的单价分别为x,y,z元，则有由此得，故。7、（B），提示；由题设有，即，由、、均为既约真分数知，a为1或2，b为1或3，c为1或5，有≤，只能是a=2,b=3,c=5。8、（2，15）或（7，3），提示：设大船租x只，小船租y只，则，求此方程的正整数解即可。奥数讲座一次不定方程第9页共9页9、设三人间、二人间和单人间分别为x，y和z间，依题意得因此，有这里x,y,z都是非负整数，由于0，≤5，所以z只能取0，1，2，3，4，5。从而共有六种付法：（10,10,0），（11，8，1），（12，6，2），（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。50人住宿总消费为所以当z=5时，总消费最低。