奥狐杯竞赛函数第三讲

北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传奥狐杯竞赛函数第三讲：数形结合、化归与转化、构造函数函数的思想内容很宽泛，但是也不外乎常用的几种思想方法和函数的几大性质，思想方法的掌握对于复杂函数问题的解决往往能起到简便的作用。在这里也谈谈对函数考试的重点及高中数学的学习方法的掌握：函数部分的考点基本集中在考察单调性、奇偶性、周期性、对称性；其中单调性是考察的重点和热点，属于必考内容。要养成几个好的习惯：①要重视函数的定义域；②给定特定区间求最值问题往往要先看单调性，单调性的证明用定义法；③判断函数的奇偶性之前要先看定义域是否关于原点对称，再看表达式；④不要惧怕分类讨论，而且必须要精通二次函数与绝对值函数的分类讨论题；同时也要学习一些避免分类讨论的技巧，能用技巧的地方就不讨论；⑤要有U时常归零U的思想，哪怕暂时落后也要相信明天一定会提高，坚忍不拔的毅力胜过一切智力因素是哈佛大学的至理名言；⑥要学U常规方法U，多做U常规基础题U，即使是高考压轴题，考点也不会很偏，方法也不会横空出世，都是考察平时的基础，只不过有深有浅。因此对于基础问题的掌握要达到深层次，基础题不会的一个都不放过。⑦要U多练U习、做题。买一本类似龙门专题的辅导书，课下多钻研，甚至可以学在老师讲课之前，题目解题的方法可能有多种，但核心思路往往只有一种。宏观的准确把握建立在反复练习的基础之上，看起来什么都会，做起来什么都错是初次学习高中数学常见的事，就是因为数学对于步骤的要求很高，有了宏观的思路还要配上微观的步骤才能彻底的掌握一个问题。即使是研究答案，应该U多推敲它的步骤U好在哪，而不应该只看数字结果。⑧再忙也要把自己不会做的题归纳在一起，U形成错题集。U时常提醒自己不要再犯类似错误，有好多同学高考完以后总是抱怨，错的还是自己平时最爱错的地方，计算问题、粗心问题等等。人最大的敌人永远是自己，要想战胜自己就得反复总结过去，吸取经验教训后前进，就是通常所讲的知耻而后勇。⑨工欲善其事，必先利其器。U现在就行动U永远不会晚。知识点1：函数凹凸性定义:设(x)f是定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点1,2xx,都有12()2xxf12()2fxx则称()fx为I上的凸函数,如下图(a).凸函数的等价定义:设()fx在区间I上有定义,()fx在I上为凸函数当且仅当对任意1,2xxI,任意0,1有121211fxxfxfx.若不等号反向,则称()fx为I上的凹函数,如下图(b).北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传定理：设函数(x)f为区间,ab上的下凸函数，1212nnfxfxfxxxxfnn此即为琴生不等式应用：（高考）若函数sinyx在区间0,上是凸函数，那么在ABC中，求sinsinsinABC的最大值；解：因为sinyx在0,上是上凸函数，则：1sinsinsinsinsin6033ABCABC=32，即3sinsinsin32ABC知识点2：构造函数关系例1：设33343131a，34353131b，比较,ab的大小关系例2：求方程27222xxx的解。显然1x是方程的一个根，记222xxfxx，易证fx是偶函数。下面探讨fx在0,上的单调性，先考查在0,上除1x外72fx是否还有其他解。因为2gxx在0,上是增函数，只需考查22xxhx在0,是否也是增函数。考察后知道函数也是增函数，根据偶函数还有一个解：-1北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传例3：已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy的交点在直线yx上，则sincossincos=知识点3:数形结合数形结合常和以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系②函数与图像的关系③曲线与方程的对应关系④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；例1：设22,23,,,AxxaByyxxACzzxxA，若CB，求实数a的取值范围。北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传例2.若集合3cos,03sinxMxyy，集合,Nxyyxb且MN,则b的取值范围为例3.设22fxx，若0ab，且fafb，则ab的取值范围是例4.对,abR，记,max,,aababbab，函数max1,2fxxxxR的最小值是例5.求函数2222613yxxxx的最小值；北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传☆数形结合双刃剑，用不好很容易出错例1.求方程22xx的解的个数例2.直线1110yx与曲线21yx有个公共点。知识点4：化归与转化思想例1：设不等式2211xmx对满足2m的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传北京奥狐天科教育科技有限公司内部讲义请勿外传例2：已知kR，求方程4222230xkxkk的实数x的取值范围。例3：记max,ab为,ab两数的最大值，当正数,xy变化时，2211max,,txyxy的最小值为U★