奥赛学案平面几何选讲反演变换(一)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共2页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com奥赛学案：平面几何选讲反演变换（一）基础知识一.定义1.设O是平面上的一个定点，k是一个非零常数．如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于O的点A与其对应点'A之间，恒有（1）',,AOA三点共线；（2）'OAOAk，则这个变换称为平面的一个反演变换，记做(,)IOk．其中，定点O称为反演中心，常数k称为反演幂，点'A称为点A的反点．2.在反演变换(,)IOk下，如果平面的图形F变为图形'F，则称图形'F是图形F关于反演变换(,)IOk的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3.设两条曲线uv、相交于点A，l、m分别是曲线uv、在点A处的切线（如果存在），则l与m的交角称为曲线uv、在点A处的交角；如果两切线重合，则曲线uv、在点A处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交．二.定理定理1.在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2.在反演变换(,)IOk下，设AB、两点（均不同于反演中心O）的反点分别为''AB、，则有''BA=''kABABOAOB．定理3.在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理4.在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．典型例题一.证明点共线例1.ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，设L、M、N分别是EF、FD、DE的中点．求证：ABC的外心、内心与LMN的外心三点共线．证明：如图，设ABC的内心为I，内切圆半径为r．以内心I为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2(,)IIr，则A、B、C的反点分别为L、M、N，因而ABC的反形是LMN的外接圆．故ABC的外心、内心和LMN的外心三点共线．INMLFEDCBA金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共2页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com二.证明线共点例2.四边形ABCD内接于O，对角线AC与BD相交于P，设ABP、BCP、CDP、DAP的外心分别为1O、2O、3O、4O．求证：OP、13OO、24OO三直线共点．证明：作反演变换(,)IPPCPA，则A、C互为反点，B、D互为反点，O不变，直线1PO不变，ABP的外接圆的反形是直线CD．由于直线1PO与ABP的外接圆正交，因而1PO与CD正交，即有1POCD．又3OOCD，所以13//POOO；同理31//POOO，所以四边形13POOO为平行四边形，从而13OO过PO的中点；同理24OO也过PO的中点．故OP、13OO、24OO三线共点．O4O3O2O1PODCBA