如何利用几何条件解压轴题

1如何巧用几何条件解压轴题解中考数学压轴题时要运用众多的数学思想方法，当用到数形结合的思想方法时，若能巧用题中的几何条件，便能达到事半功倍的效果．现以2010年某些省市中考数学压轴题为例，谈谈如何巧用几何条件解压轴题．1．把握图形的最佳条件，化繁为简巧解题．某些压轴题以函数图象和特殊四边形为背景，图形有多条性质对解题都有帮助，但运算量差异较大，由于运算费时会造成考试隐形失分．如能把握图形的最有利条件，会达到化繁为简巧解题的效果．例1、（临沂市）如图1，二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（-21，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．【简析】：题（3）求P点的坐标，首先要用到分类讨论的思想，具体情况为：①以BC为底边；②以AC为底边，其解题方法相同．在运用直角梯形性质时有两种不同的解法：其一、运用BC∥AP，如图2所示，先求直线BC的解析式，再由BC∥AP求直线AP的解析式，∵点P既在抛物线上，又在直线AP上，∴点P的纵坐标相等，进一步通过一元二次方程求解．ACB图12其二、构造Rt△APD如图3所示，由Rt△APD∽Rt△BCO得21ADPD，即可解得P点的坐标．（例2图1）2．构造相似三角形，寻求捷径巧解题．以函数图象和显形或隐含的三角形为背景的压轴题，解题中若注意构造相似或全等三角形，并利用其某些性质，能达到寻求捷径，提高解题效率的效果．例2、(杭州市)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=241x+1，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.(1)写出点M的坐标；(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.【简析】：题（2）①求t关于x的函数解析式，其中“四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形”这一条件怎么用？从Rt△OMC联想构造Rt△HQP，进一步发现CM∥PQ，因此有Rt△HQP∽Rt△OMC，如图4，过点Q作QHx轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：42txy，即：t=x–2y，∴t=–221x+x–2.②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值，要用到分类讨论的思想，具体情况为：(Ⅰ)当CMPQ时，则点P在线段OC上，CM=2PQ，从Rt△HQP∽Rt△OMC得，点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2(241x+1)，3解得x=0，∴t=–2021+0–2=–2；(Ⅱ)当CMPQ时，则点P在OC的延长线上，其解题方法相同．3、转换图形背景，另辟蹊径巧解题以四边形或隐含的全等、相似三角形为背景的压轴题，解题中若另辟蹊径应用图形面积的等积变换，可以免去繁杂的运算，使问题得到巧解.例3、(湖南常德市)如图5，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.(1)当正方形GFED绕D旋转到如图6的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形GFED绕D旋转到如图7的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.①求证：AG⊥CH；②当AD=4，DG=2时，求CH的长.【简析】：题（2）②求CH的长，若从Rt△AHC下手用勾股定理，那么求AH的长运算相当繁杂（要用两次相似和一次勾股定理，有兴趣的读者可自己研究）.如果从研究四边形ACDG的面积，运用面积的等积变换可达到达到事半ABCDEF图5GAD图6FEBCGADBCEFHM图74功倍的效果．如图8，AGDACDACGCGDACDGSSSSS四边形，从而有21AD·PG+21AD·DC=21AG·CH+21CD×1（以CD为底边的△CDG的高=PD=1），求PG、AG比较简单，只要过G作GPAD于P，有2sin451OGPPD∴3AP，10AG，进一步有CH的长为5108.图8