图像处理课件05-频域变换.

第五讲：频域变换1.频域与频域变换2.连续傅里叶变换3.离散傅里叶变换4.快速傅里叶变换5.傅里叶变换的性质6.用傅里叶变换进行图像处理7.其他离散变换时域与频域◦时域时域又称为时间域，是描述信号在不同时刻取值的函数。自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468函数的时域表示正弦波的时域叠加示意图频域：频域也称为频率域，是描述信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度。波形的时域表示波形的幅频表示正弦波的时域叠加示意图(a)幅频特性（b）相频特性波形的频域表示1807年，傅里叶提出了傅里叶级数的概念，即任一周期信号可分解为复正弦信号的叠加。1822年，傅里叶又提出了傅里叶变换。傅里叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善，应用程序多。在数字图像应用领域，傅里叶变换起着非常重要的作用，用它可完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。连续傅里叶变换是把一组函数映射为另一组函数的线性算子，即傅里叶变换把一个函数分解为组成该函数的连续频率谱。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦或余弦）和的形式或者它们的积分的线性组合。傅里叶变换在数学中的定义是：如果函数满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积，则定义的傅里叶变换公式为其中，是表示频率的变量。)(xfdxexfuFuxj2)()(：12ju由于欧拉公式将复数、指数函数与三角函数联系起来：傅里叶变换定义可以写成：sincosjejdxuxjuxxfuF)]2sin()2)[cos(()(将用复数形式表示为其中：)(uF)()()(ujIuRuFdtuttfuR)2cos()()(dtuttfuI)2sin()()(=任何函数周期函数都可以表示为不同频率的正弦及余弦函数的线性表达–Fourier基数幅值、相位和能量分别为：幅值：相位：能量：2122)()()(uIuRuF))(/)(arctan()(uRuIu）uIuRuE()()(22一维的傅里叶反变换定义为：dueuFxfuxj21-)()(：傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数是连续可积的，且则存在如下的二维傅里叶变换及反变换：式中、是表示频率的变量，与一维的意义类似。),(yxf),(vuFdydxyxfvuFyxfFvyuxj)(2exp),(),(),(：dvduvuFyxfvufFvyuxj)(211-exp),(),(),(：uv函数的一维离散傅里叶变换定义如下：)(xf10/21)()(:NxNuxjNexfuF。1,2,1,0Nu一维的离散傅里叶反变换为：傅里叶变换复数形式：的实部为，虚部为)(uF10/21)(1)(:NuNuxjeuFNxf)()()(ujIuRuF)(uF)(uF)(uR)(uI幅值、相位和能量分别为：幅值：相位：能量：2122)()()(uIuRuF))(/)(arctan()(uRuIu）uIuRuE()()(22离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为:1010/)(2),(1),(:NxNyNvyuxjeyxfNvuF1,2,1,0Nu。1,2,1,0Nv二维离散傅里叶的反变换定义为：u、v是频率变量1010/)(21),(1),(:NuNvNvnuxjevuFNyxf1,2,1,0Nx。1,2,1,0Ny二维函数离散傅里叶的谱、能量和相位谱为:傅里叶频谱：能量：相位:）vuIvuRvuF,(),(),(22）vuIvuRvuE,(),(),(22),(),(arctan),(vuRvuIvu傅里叶用于图像处理：◦任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加；◦在图像领域就是将图像亮度（灰度值）作为正弦变量。◦如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。（1）频率（frequency）◦频率在空间域上表现为亮度的变化快慢◦例如：左图的频率比右图的frequency低（2）幅值（magnitude）◦sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差（3）相位表示相对于原始波形，这个波形偏移量由二维离散傅里叶变换得到图像傅里叶中心谱例一个简单二维函数的中心谱在大小为512×512黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形的图像；（b）应用了频率谱，用对数变换后显示的中心傅里叶谱。（a）（b）图（a）在大小为512×512黑色背景上叠加一个尺寸为20×40的白色矩形的图像，（b）应用了频率谱，变换后显示的中心傅里叶谱（a）原始图像（b）离散傅里叶频谱二维图像及其离散傅里叶频谱的显示快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方法消除(DFT)中重复工作，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的目的。对于一个有限长序列{f(x)}(0≤x≤N−1)，它的傅里叶变换由下式表示:令因此，傅里叶变换对可写成下式从上面的运算显然可以看出要得到每一个频率分量，需进行N次乘法和N−1次加法运算。要完成整个变换需要N2次乘法和N(N−1)次加法运算。当序列较长时，必然要花费大量的时间。观察上述系数矩阵，发现是以N为周期的即uxNW基2FFT基4FFT劈分基FFT(1)分离性质从离散的二维傅里叶变换中可得如下分离形式：sincosjej从上述这些分离形式可知一个2-D傅里叶变换可由连续2次运用1-D傅里叶变换来实现，这样可将的运算量减为O(n2)的运算量。如果F(u)的频率变量u,v分别移动了u0,v0距离,则傅里叶变换对有下面的形式：因此，傅里叶变换的平移性质表明了函数与一个指数相乘等于将变换后的频域中心或者空域中心移到新的位置对f(x,y)的平移将不改变频谱的幅值。对于这一性质的应用是，如果一副图像，原点显示在屏幕的左上角，我们就可以通过平移性质，将原点移到屏幕中央。傅里叶变换对和反变换均以N为周期，即这表明尽管F(u,v)有无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v）得到F(x,y)如果F(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对成性首先借助极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,u=wcosφ,v=wsinφ，将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,θ)和F(w,φ)。例二维离散傅立叶变换的旋转性（a）原始图像（b）原图像的傅里叶频谱（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的傅里叶频谱该实例表明表明，对f(x,y)旋转一个角度θ0对应于将其傅里叶变换F(u,v)也旋转相同的角度θ0根据傅里叶变换对的定义可得到上式表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，但需注意对乘法则不满足，一般有尺度变换描述了函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的作用。下面考察f(at)的傅里叶变换如果系数a大于1，函数f(t)在水平方向收缩，由上式可知傅里叶变换的幅值将缩小a倍，同时在水平方向扩展a倍；a小于1时作用相反。可见当在其前面乘以比例尺度小于1时，频域中图像变换频谱幅值将减小（a）原始图像（b）比例尺度展（c）比例尺度a=0.1宽前的频谱展宽后的频谱傅里叶变换的相似性对一个2-D离散函数，其平均值可用下式表示当正反变换采用相同的标度数1/N时，傅里叶变换域原点频谱量为两式比较可得：频谱的直流成分N倍于图像平面的亮度平均值。在使用诸如高通滤波器的场合，其F(0,0)值会衰减，因为图像的亮度在很大程度上受到影响，采用对比度拉伸的方法可以缓和这种衰减。卷积定理是线性系统分析中最重要的一条定理。先考虑一维傅里叶变换：同样二维情况也是如此这表明，在时域中的卷积相当于在频域中的乘积。卷积定理指出，在一个域中作卷积，可以在另一个域中作乘法，可以达到相同的效果。计算图像傅立叶变换的过程：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0）；将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据；然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分对图像在频域内进行滤波:1.计算图像的傅里叶变换F(u,v)2.F(u,v)乘以滤波器函数H(u,v)3.对结果计算DFT反变换例：对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，然后利用平移性质，在原图的基础上乘以求傅里叶变换的频谱图（a）原图（b）频谱图（c）中心移到零点的频谱图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图(−1)x+y（b）为傅里叶变换的频谱图，观察频谱图可知，在未平移前，图（b）坐标原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低频成分。对原图乘以(−1)x+y后进行傅里叶变换，观察频谱图（c）可知，变换后的坐标原点移至频谱图窗口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。可见，图像的能量主要集中在低频区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于0。图（a）乘以一指数，将图像亮度整体变暗，并求其中心移到零点的频谱图。（a）变暗后的图（b）变暗后中心移到二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图将原图（a）函数乘以e-1，结果如图4.9(a)对其亮度平均变暗后的图像进行傅里叶变换，并将坐标原点移到频谱图中央位置，结果如图（b）所示。对比后，可以看出当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当图片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的低频成分也发生改变。加入噪声后，得到有颗粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图。（a）有颗粒噪音（b）有颗粒噪音中心移到零点的频谱图二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图对中心为一小正方形和斜长方形求其傅里叶变换的谱分布傅里叶变换谱分布实例（a）正方形原图（b）正方形的谱分布（c）长方形的原始图像（d）长方形的谱分布左边均为原始图像，右边分别是他们变换后的谱分布。图（a）是中心为一小正方形，周边为空；图(c)是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最亮区域表示其变换后的幅值最大。对（c）傅里叶变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当长方形旋转了45o时，频谱也跟着旋转45o，此实例验证了傅里叶变换的旋转性。对一副图片如图4.12（a）求其幅值谱和相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像重构，对比其所求结果（a）源图像（b）幅值谱（c）相位谱（d）幅值谱重构图像（e）相位谱重构图像傅里叶变换结果从实验结果可以看出，从幅值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息多；但对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其设为0，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很大；而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其设为常数，可以从中看出图像的基本轮廓来。采样数减少一半（1）Matlab方法图象的二维离散傅立叶频谱。％读入原始图象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求离散傅立叶频谱J=ffts