图形学的数学基础-曲线

图形学的数学基础－参数曲线基础知识参数曲线的基本知识•表示方法•属性•连续性曲线的表示方法显式表示：),(),(yxfzxfy隐式表示：参数表示：更强的控制能力更灵活方便的变换及表达0),,(,0),(zyxfyxfbattzztyytxx,,)()()(参数曲线的基本概念•假设参数曲线表示为1,0,)()()(ttzztyytxx亦即：)(tP曲线上一点处的切矢量（1）•用以表示曲线上位置矢量的大小、方向变化)(ttPD+Pt()图1切矢量表示位置矢量的变化曲线上一点处的切矢量（2）表示t处位置矢量))(),(),(()(:tztytxtP记号它的方向指向参数增加的方向(曲线正向))1.1()()()(lim'0tPdtPdttPttPTtDD+D该点处的切矢量表示为：曲线上一点处的切矢量（3）•参数变换条件下曲线上点的切矢量：)(ttt))(()(ttPtQ0tddt要求：)2.1(tddtdtPdtdQd参数变换方程：参数曲线新方程：切矢量表达式：切矢量方向保持不变正则曲线与自然参数（1）的点正则点：曲线上满足0)('tP正则曲线：所有点都是正则点的曲线。正则曲线与参数选取无关参数表示方程与参数选取有关自然参数：弧长参数以弧长为参数的曲线光顺性好常采用曲线的自然参数（弧长参数）来定义曲线。?0'P正则曲线与自然参数（2）•对于正则曲线)(tPP的弧长。到为曲线从定义：ttdtdttPdtstt00)()()(stt)(sQQ由弧长函数的反函数：可得到曲线自然参数方程：正则曲线与自然参数（3）•定理：自然参数曲线的切矢量满足：1TdtPddtPddtdsdttPddsdtdttPddsQdT/)()(证明：除特别申明外通常讨论正则曲线并采用弧长参数定义曲线。以弧长为参数的曲线若非正则，则畸形。曲线上一点处的主法向量（1）•记号–自然参数曲线：任一点处的单位切矢量为)(sPP)(sT时）（当处的主法向量：0)()(')(')('sTsTsTsNs沿该方向过该点的直线称为该点处的主法线定义--衡量曲线弯曲程度？曲线上一点处的曲率曲率可衡量曲线的弯曲程度—单位切矢对弧长的转动率如图所示D)(sT)(ssTD+ssssTssTsTsPsssDDDDDD+DDDlimlimlim0002sin2)()()(')(''点的曲率。为曲线在曲率：称ssPsk)('')(曲率半径•直线特征：曲率处处为0；•圆的特征：曲率半径处处相等处的曲率半径为曲线在时，称定义：当sskssk)(1)(0)(曲线上一点处的主法向量（2）•定理：主法向量与切矢量正交。•证明：11TTT即0'TT求导数得到：垂直即与NTT'曲线上一点处的从法向量为从法向量定义：)()()(sNsTsB沿该方向过该点的直线称为从法线。三单位矢量两两垂直显然：)(),(),(sBsNsTFrent活动标架活动标架。处的为曲线在称FrentssBsNsTsP)(),(),(),(问题：切矢量(垂直于法平面)的变化快慢反映了曲线的弯曲程度•问题：从法向量(垂直于密切平面)的变化反映了曲线的何种属性?预备定理•定理：)()()('sNscoffsB垂直与由TBTBTB'0'0也垂直与又：BBBBB'0'1平行与因此：NB')()()('sNscoffsB亦即：证明：曲线在一点处的挠率含义：•从法向量方向对弧长的变化率--反映曲线的扭曲程度。•该值大于、小于、等于0分别对应右旋、左旋和平面曲线。处的挠率。为曲线在函数所确定的则由设定义sssNssBsP)()()()(',0)('':曲线的几何不变量（1）•曲率和挠率：因与曲线参数和空间直角坐标系的选取都无关，而称其为曲线的几何不变量。•曲线基本定理：如果两条曲线在弧长参数相同的点处具有相同的曲率和挠率，那么这两条曲线经过旋转和平移运动后一定会重合。•曲线的自然方程：)()(sskk曲线的几何不变量（2）•在任意参数条件下的曲率、挠率分别为：曲线的连续性•参数连续：函数可微•几何连续：曲线光滑•二者既有区别又有联系曲线的参数连续性（参数连续）为：定义nCnkdttPddttPdttkkttkk,,2,1,0)()(00+曲线的几何连续性（1）)()(000+tPtPGCo：位置连续即：阶几何连续0)(')('1001+tPtPGCGCo且切线重合即：：阶几何连续)()()()(200012++tktktBtBGCGCo且：：阶几何连续曲线的几何连续性（2）•是一种可观察的连续性•只与曲线本身有关•定理：若参数曲线关于它的弧长参数n阶连续，则n阶几何连续