如何进行含有绝对值的计算

如何进行含有绝对值的计算甘肃省广河二中马鸿平邮编：731301电话：[phone]绝对值是中学数学的重要内容之一，学生对绝对值的理解和掌握既是教学的重点，也是教学的难点.但绝对值的应用范围却十分广泛，像有理数的加法、乘法以及几个负数的大小比较等问题,都离不开绝对值的知识.同时，绝对值结果的非负性对后继知识的学习意义重大.因此，我们应认真对待绝对值的学习.根据“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离”的直观意义，从而得出了：“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”的计算绝对值的法则.即当a＞0时，|a|=a；当a＜0时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0.这样，从数与形这两方面结合起来把握绝对值，我们的学习会更轻松.一、利用绝对值的意义确定去掉绝对值符号的结果根据“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”的意义，就可以确定去掉绝对值符号的结果了.例1：求下列各数的绝对值：－3，0，－10034，＋8844.43.解：|－3|＝－（－3）＝3；|0|＝0；|－10034|＝10034；|＋8844.43|＝8844.43.注：地球上最低的低地是太平洋的玛利亚那海沟，低于海平面10034米，记作：－10034；地球上的最高峰是珠穆朗玛峰，海拔为8844.43米，记作：＋8844.43.二、含有绝对值符号的运算含有绝对值符号的运算，根据绝对值的意义，脱掉绝对值的符号，这时可把绝对值号看作括号处理，其运算顺序仍然是“先乘方，后乘除，最后加减；若遇括号先算括号里面的”.例2：计算下列各题：⑴|－13|＋|－20|－|－6|；⑵|－25|÷|－5|×|－4|；⑶|－|－||÷.解：⑴原式＝13＋20－6＝20；⑵原式＝25÷5×4＝20或原式＝|－25÷（－5）×（－4）|＝|－20|＝20；⑶原式＝－×＝－＝.三、利用绝对值的意义进行两个负数的大小比较例3：比较下列各组数的大小：⑴－3.14和－π；⑵－和－.解析：根据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则进行比较.解：⑴∵|－3.14|＝3.14，|－π|＝π，3.14＜π∴－3.14＞－π.⑵∵|－|＝＝，|－|＝＝，＞∴－＜－.四、利用绝对值的意义求x的值根据“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离”的直观意义，可以求简单的绝对值方程的解，即x的值.例4：求下列各式中x的值：⑴|x|＝2;⑵|x－2|＝5,解：⑴∵⑵＝2，我们可以理解为“在数轴上，到原点的距离等于2的数是±2”，∴x＝2或x＝－2.⑵∵|x－2|＝5,我们可以理解为“在数轴上，到原点的距离等于5的数是±5”，∴x－2＝5或x－2＝－5得x＝7或x＝－3.例3：已知|x|=3，|y|=4，求x+y的值.解：∵|3|=3，|-3|=3.∴x=3或x=-3.同理：y=4或y=-4.⑴当x=3，y=4时，x+y=3+4=7；⑵当x=3，y=-4时，x+y=3+（-4）=－1；⑶当x=-3，y=4时，x+y=-3+4=1；⑷当x=-3，y=-4时，x+y=-3+（-4）=－7.综上所述：x+y的值为1或－1或7或－7.点评：此例一方面考查互为相反数的两数的绝对值相等，另一方面也渗透分类讨论的数学思想，从而培养大家考虑问题的周密性.五、生活中的绝对值知识例5：正式排球比赛对所使用的排球重量是有严格规定的，分别检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下：＋15，－10，＋30，－20，－40.⑴指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？⑵如果对两个排球作上述检查，检查的结果分别为p和q，请利用学过的绝对值的知识指出这两个排球中哪一个质量好一些？解析：根据生活知识：哪个排球的重量偏差规定重量越小，那个排球的质量就越好.这个偏差可以有绝对值表示，绝对值越小表示偏差越小，绝对值越大表示偏差越大.解：⑴因5个排球偏差规定重量的克数中，第二个排球的重量偏差规定重量的绝对值最小，所以第二个排球的质量好一些；⑵如果|p|＞|q|，则结果为q的质量好一些；如果|p|＜|q|，则结果为p的质量好一些；如果|p|＝|q|，则两个排球的质量一样好.点评：主要运用了分类讨论思想.