如何选取最简捷的方法证明不等式

如何选取最简捷的方法证明不等式王莉不等式的证明是中学学习中经常碰到了一类题目，它的方法有很多种，比较法（作差法，作商法），分析法，反证法，放缩法，判别式法，换元法，函数法，数学归纳法，而现在的教学中对这些方法的介绍不再面面俱到，使得有些学生只知道其中部分方法，甚至有的学生只知道作差法，而碰到不能用作差法得到的题目，学生会一筹莫展。面对这么多种方法学生即使方法全部掌握，在考试中也不能在短短的时间内判断出用什么方法又快又准确。而这篇论文就是针对这个问题寻找出每种方法的适用范围，从而找出规律。一.介绍证明不等式的方法和适用范围1．比较法比较法是证明不等式最基本，最常用，最重要的方法之一。a)作差法的理论依据是ab(a=b,ab)a-b0(a-b=0,a-b0),它适用于当两项属于实数范围且作差后有公因式的整式，分式之间。b)作商法的理论依据是(a,bR)ab(a=b,ab)),(bababa，它适用于当比较的两项都属于正实数且两者有公因子时。2．综合法把某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法通常叫做综合法。它涉及到的基本不等式和常用不等式有a当且仅当a=0是等号成立abbaRba,,当且仅当a=b时等号成立abbaRba,,，当且仅当a=b时等号成立abccbaRcba,,,，当且仅当a=b=c时等号成立其中尤其重要的是等号成立的条件，特别做实际问题的不等式证明时要注意，它适用在满足基本不等式或常用不等式条件和结果的一切不等式，当然题目不可能很容易看出是否满足，所以要注意技巧即能够根据要求拆或合项。3．分析法证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。注意的是用分析法证明不等式，分析过程必须步步可逆。而在证明不等式时，用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理的表达证明过程较宜。它适合用于含根式的不等式处理时先证明两边平方的大小关系也可分子有理化。4．反证法从假设结论不成立入手，推出与“已知条件，假设，公理，定理或显然成立的事实”等相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法。用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。反证法的一般步骤（1）否定结论（2）推理论证（3）导出矛盾（4）肯定结论，它的原理是“否定之否定等于肯定”用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“”；“”的反面为“”，“=”的反面为“”，“至少有一个”的反面是“一个都没有”它适用于证明存在性问题，唯一性问题，或者带有至少或至多等字样的问题。5．放缩法从不等式的一边入手，逐渐放大，缩小不等式，直到得到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。运用放缩法要注意放缩必须适度，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的。它的理论依据主要有（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量;(3)同分子（分母）异分母（分子）的两个分时大小的比较.放缩时使用的主要方法（1）舍去或加上一些项，如，)()(aa(2)将分子或分母放大，如,)(kkk,)(kkkkkkkkk),(*kNk它适用于含可以配方的式子或者含满足上述方法二的式子的不等式。6．判别法证明形如“dbxacxbxaycbcxbxacxbxaya,”的不等式，可通过将不等式中的y整理成形如)()()(yxygxyf的形式后，依据(1))(yf时，由xR,⊿≥0,得y的取值范围为A(2)讨论f(y)=0时，)()()(yxygxyf中的x的值是否为函数y的定义域中的值？是，结合（1）可以确定y的范围为A及f(y)=0的y值；否则y的范围为A.这种证明不等式的方法叫做判别式法。它适用于分子分母都是二次函数或有一个为二次函数的可以转换为)()()(yxygxyf形式的分式，同时要注意对x项系数f(y)=0)和)(yf两种情况的讨论。而x=0是函数y=,xxx的定义域中的一个值，所以y=1属于它的值域中的一个值y即证7．换元法在证明不等式的过程中，将不等式中的变量作适当的代换，使不等式得到证明，这种方法叫做不等式证明中的换元法。换元法没有固定的模式，用换元法证明不等式，常用的方法是“三角换元法”和“代数换元法”其中三角换元法常用的公式有：cossinsectancsccot{sincosRyRx适用范围：如果不等式中的变量|x|≤a(a为常数)则把ax设为sin或者cos如果题目中含有“Ryx，Ryx，xR也可以用{sincosRyRx代换。如果题目含有xR，Rx可用x=Rtanx=Rsec特别是当时，tan可取全体实数，所以tan有代换任何一个实数的可能性。需要注意的是在代换时，新的变量的变化范围必须确保原来的变量的变化范围不发生变化。8．函数法所谓函数法是指根据函数的单调性（先构造函数）证明不等式的方法，而所构造的函数必须是单调函数，解决这个问题的关键是建立初等函数模型与不等式的“外形”的对应关系。它适用于不等式两边有相同函数形式的不等式9．数学归纳法通过（1）证明n取第一个值n使命题成立（2）假设n=k(knkN,*)使命题成立，证明n=k+1时命题也成立。这种证明方法叫做数学归纳法。它适用于与正整数n有关得不等式等。二.上述几种方法在证明一道不等式中的应用已知p0,q0,且qp求证：p+q≤2.证法一（综合法）：qp=2qp=2又p0,q0qp≥p+qp+q≤2证法二（反证法）假设p+q2,则p2-q,p0,q0,qpq2,即2-q0qqqqp)(,)(qpqq即)(q这与)(q≥0矛盾。假设不成立。p+q≤2证法三（放缩法）)(])())[(())((qpqpqpqpqpqpqpqp)(qpp0,q0p+q≤2证法四（判别式法）设p+q=a,则p0,q0，a0qp=2pqqpqpqpqp)(p=a-qqaqaqaqaa)(qaqaaq(系数3a0),Rq)(aaa即aa≥0)(aa)(aap+q≤2证法五（换元法）由已知p0,q0设p=msinq=mcos(0,m0),则]sin[cossinmmmqp0sinmm)sin(mqpmm≤2,即p+q≤2可以看出在这五种证明方法中综合法和放缩法是比较简单的方法，它们用较少的步骤就得到了不等式要证明的答案。由此可以看出对于同一道证明题，选取不同的方法，证明是简单还是复杂会相应的改变，所以在做不等式的证明中如果能选取比较合适的证明方法，就可以提高解题速度，从而提高学习效率。参考文献：龙门书局《不等式》主编傅荣强常用不等式—2004第3版匡继昌著济南山东科学技术出版社不等式严镇军中国科学技术大学