圆锥曲线与导数练习

试卷第1页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1、已知椭圆12222byax（0ba）的离心率36e，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．2、已知椭圆：2214xy．（Ⅰ）求+椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线yxm与椭圆交于不同两点,AB，若点0,1P满足PAPB，求实数m的值．3、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．4、已知函数Rxaxexfx,)(2的图像在点0x处的切线为bxy．（1）求函数)(xf的解析式；（2）当Rx时，求证：xxxf2)(；（3）若kxxf)(对任意的),0(x恒成立，求实数k的取值范围；5、已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣bx，其中a，b为实数，（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；（2）若f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．6、已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．7、已知函数，．（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，求证：试卷第2页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．9、设椭圆)0(1:2222babyaxM的离心率与双曲线122yx的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.（1）求椭圆M的方程；（2）若直线mxy2交椭圆M于A，B两点，)2,1(P为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．10、已知椭圆22221(0)xyabab上任意一点到两焦点12FF距离之和为42，离心率为32．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于,AB两点．点(2,1)P为椭圆上一点，求PAB的面积的最大值．11、某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段[60，65)，[65，70)，…[95，100)进行分组，得到的分布情况如图所示．求：Ⅰ、该班抽测成绩在[70，85)之间的人数，并估算该班抽测成绩的中位数及平均分；Ⅱ、该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比。5101520成绩人数6065707580859095100试卷第3页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1、已知椭圆12222byax（0ba）的离心率36e，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．【答案】解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．依题意233622baabac，解得13ba，∴椭圆方程为1322yx．（2）假若存在这样的k值，由033222yxkxy，得)31(2k09122kxx．∴0)31(36)12(22kk．①设1(xC，)1y、2(xD，)2y，则2212213193112kxxkkxx，②而4)(2)2)(2(212122121xxkxxkkxkxyy．要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则1112211xyxy，即0)1)(1(2121xxyy．∴05))(1(2)1(21212xxkxxk．③将②式代入③整理解得67k．经验证，67k，使①成立．综上可知，存在67k，使得以CD为直径的圆过点E．试卷第4页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2、已知椭圆：2214xy．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线yxm与椭圆交于不同两点,AB，若点0,1P满足PAPB，求实数m的值．试题解析：（Ⅰ）2a，1b，所以3c．故椭圆离心率为32．（Ⅱ）设1122,,,AxyBxy，由22,440yxmxy得2258410xmxm，由0得5,5m．1285mxx，得1225myy，故AB的中点4,55mmM．因为PMAB，所以15145mm，得53m满足条件．3、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥底面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；（2）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．试题解析：（1）证明：∵CD2=BC2+BD2，∵BC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD而BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD（2）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而BD=，所以PD=1分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）所以，，1）试卷第5页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………设平面PBC的法向量为，∴…即可解得）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=…4、已知函数Rxaxexfx,)(2的图像在点0x处的切线为bxy．（1）求函数)(xf的解析式；（2）当Rx时，求证：xxxf2)(；（3）若kxxf)(对任意的),0(x恒成立，求实数k的取值范围；试题解析：（1）xexfaxexfxx2)(,)(2由已知bfaf1)0(01)0(解得11ba，故1)(2xexfx（2）令1)()(2xexxxfxgx，由01)(xexg得0x当)0,(x时，0)(xg，)(xg单调递减；当),0(x时，0)(xg，)(xg单调递增∴0)0()(mingxg，从而xxxf2)(（3）kxxf)(对任意的),0(x恒成立kxxf)(对任意的),0(x恒成立令0,)()(xxxfx,∴2222)1)(1()1()2()()()(xxexxxexexxxfxfxxxxx由（2）可知当),0(x时，012xe恒成立令0)(xg，得1x；0)(xg得10x∴)(xg的增区间为),1(，减区间为)1,0(，0)1()(mingxg∴0)1()(mingxgk，∴实数k的取值范围为(,0)试卷第6页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5、已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣bx，其中a，b为实数，（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；（2）若f（x）在区间[﹣1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题设可知：f'（1）=0且f（1）=2，即，解得．；（Ⅱ）∵f'（x）=3x2﹣6ax﹣b=3x2﹣6ax﹣9a，又f（x）在[﹣1，2]上为减函数，∴f'（x）≤0对x∈[﹣1，2]恒成立，即3x2﹣6ax﹣9a≤0对x∈[﹣1，2]恒成立，∴f'（﹣1）≤0且f′（2）≤0，即，∴a的取值范围是a≥1.6、已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．【答案】f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x＞0)．(1)由题意知f′(1)＝f′(3)，即a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋23，解得a＝23.(2)f′(x)＝(1)(2)axxx(x＞0)．①当a≤0时，∵x＞0，∴ax－1＜0，在区间(0，2)上，f′(x)＞0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0＜a＜12时，1a＞2，在区间(0，2)和1,a上，f′(x)＞0；在区间12,a上f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)和1,a，单调递减区间是12,a.试卷第7页，总10页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………③当a＝12时，f′(x)＝222xx≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a＞12时，0＜1a＜2，在区间10,a和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间1,2a上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是10,a和(2，＋∞)，单调递