圆锥曲线中的典型问题与方法圆锥曲线中的探究性(存在性)问题

圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一）存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。一、是否存在这样的常数例1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q．（I）求k的取值范围；（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程得22(2)12xkx．整理得22122102kxkx①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于2221844202kkk，解得22k或22k．即k的取值范围为2222，，∞∞．（Ⅱ）设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，，由方程①，1224212kxxk．②又1212()22yykxx．③而(20)(01)(21)ABAB，，，，，．所以OPOQ与AB共线等价于12122()xxyy，将②③代入上式，解得22k．圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品由（Ⅰ）知22k或22k，故没有符合题意的常数k．练习1：（08陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使0NANB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)Axx，，222(2)Bxx，，把2ykx代入22yx得2220xkx，由韦达定理得122kxx，121xx，1224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，．设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkymx，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk．即lAB∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NANB，则NANB，又M是AB的中点，1||||2MNAB．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222Myyykxkxkxx22142224kk．MNx轴，22216||||2488MNkkkMNyy．又222121212||1||1()4ABkxxkxxxxxAy112MNBO圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品2222114(1)11622kkkk．22216111684kkk，解得2k．即存在2k，使0NANB．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)AxxBxx，，，，把2ykx代入22yx得2220xkx．由韦达定理得121212kxxxx，．1224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，．22yx，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NANB．由（Ⅰ）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，，，，则22221212224488kkkkNANBxxxx222212124441616kkkkxxxx1212144444kkkkxxxx221212121214()4164kkkxxxxxxkxx22114(1)421624kkkkkk22313164kk0，21016k，23304k，解得2k．圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品即存在2k，使0NANB．练习2.直线1axy-=与曲线2221xy-=相交于P、Q两点。（1）当a为何值时，221PQa=+；（2）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解：（1）联立方程22221(12)43021axyaxaxxyì-=ïï-+-=íï-=ïî得，222P,Q,1201612(12)0aaaìï-?ïíïD=+-ïî又知直线与曲线相交于两点可得，即6222aa?且，设P、Q两点的坐标为112212122243(,),(,),2121aPxyQxyxxxaa+==--则x，所以222224(1)(32)21(21)aaPQaa+-==+-，化简得222(12)(12)20,1aaa----==?解得即为所求。（3）假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，121212122221212222.1,0,(1)(1)0,3(1)4(1)()10,1021122,,.OPOQkkxxyyxxaxaxaaaxxaxxaaaaa=-+=+--=++-++=++=--=-纹则也就是整理得故有解得即不存在实数二、是否存在这样的点例2.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22（I）求a，b的值；（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（Ⅰ）设,0,cF当l的斜率为1时，其方程为Ocyx,0到l的距离为2200cc，故222c，1c，由33ace，得3a，22cab=2（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立。由（Ⅰ）知椭圆C的方程为22x+23y=6.设).,(),,(2211yxByxA(ⅰ))1(xkylxl的方程为轴时，设不垂直当假设C上存在点P，且有OPOAOB成立，则）点的坐标为（2121,yyxxP，6)(3)(2221221yyxx，整理得6643232212122222121yyxxyxyx632,63222222121yxyxCBA上，即在、又故03322121yyxx①将并化简得代入,632)1(22yxxky0636)32(2222kxkxk②于是2221326kkxx,21xx=223263kk,2221221324)2)(1(kkxxkyy，代入①解得，22k，此时2321xx于是)2(2121xxkyy=2k，即)2,23(kP因此，当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为；当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为。（ⅱ）当l垂直于x轴时，由)0,2(OBOA知，C上不存在点P使OBOAOP成立。圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品综上，C上存在点)22,23(P使OBOAOP成立，此时l的方程为022yx.例3.（2009福建卷）（本小题满分14分）已知直线220xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线,ASBS与直线10:3lx分别交于,MN两点。（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为15？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由（I）由已知得，椭圆C的左顶点为(2,0),A上顶点为(0,1),2,1Dab故椭圆C的方程为2214xy（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且0k，故可设直线AS的方程为(2)ykx，从而1016(,)33kM由22(2)14ykxxy得2222(14)16164kxkxk0设11(,),Sxy则212164(2),14kxk得2122814kxk，从而12414kyk即222284(,),1414kkSkk又(2,0)B，由1(2)4103yxkx得10313xyk101(,)33Nk故161||33kMNk圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品又16116180,||233333kkkMNkk，当且仅当16133kk，即14k时等号成立14k时，线段MN的长度取最小值83（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，14k此时BS的方程为644220,(,),||555xysBS要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于15，只须T到直线BS的距离等于24，所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l上。设直线':0lxyt++=，则由|2|2,42t解得32t或52t练习：1.（2008湖北卷20题）．（本小题满分12分）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点．（I）若动点M满足1111FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．解：由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，．解法一：（I）设()Mxy，，则1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，1221(2)(20)FBxyFO，，，，由1111FMFAFBFO得121226xxxyyy，即12124xxxyyy，于是AB的中点坐标为422xy，．当AB不与x轴垂直时，121224822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx．圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy．将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy．当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程．所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．（II）假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CACB为常数．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kxx