圆锥曲线的切线方程的推导

1/2圆锥曲线的切线方程的推导1.若点00(,)Pxy是椭圆22221xyab上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：00221xxyyab。证明：由22221yxba2222(1)xyba……①1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且0'|xxky∴对①式求导：20222'byyxa，∴02020'|xxbxkyay∴切线方程为200020()bxyyxxay…………②∵点00(,)Pxy在椭圆22221xyab上，故2200221xyab代入②得00221xxyyab…………③而当xa时，00y切线方程为xa，也满足③式故00221xxyyab是椭圆过点00(,)Pxy的切线方程.2.若点00(,)Pxy是双曲线22221xyab上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：00221xxyyab。证明：由22221yxba2222(1)xyba……①1°当xa时，过点P的切线斜率k一定存在，且0'|xxky∴对①式求导：20222'byyxa∴02020'|xxbxkyay∴切线方程为200020()bxyyxxay…………②∵点00(,)Pxy在双曲线22221xyab上，故2200221xyab代入②得00221xxyyab…③而当xa时，00y,切线方程为xa，也满足③式.2/2故00221xxyyab是双曲线过点00(,)Pxy的切线方程.3.若点00(,)Pxy是抛物线22ypx上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()yypxx证明：由22ypx，对x求导得：002'2'|xxpyypkyy。当00y时，切线方程为00()pyyxxy即2000yyypxpx，而200002()ypxyypxx………………①而当000,0yx时，切线方程为00x也满足①式。故抛物线在该点的切线方程是00()yypxx.