圆锥曲线选择和轨迹

第1页（共21页）2016年10月01日圆锥曲线选择和轨迹一．选择题（共25小题）1．（2016•淮南一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．2．（2016•海口校级模拟）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21B．21C．﹣或21D．或213．（2016•郑州一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2D．﹣4．（2016•佛山二模）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，左焦点为F，若直线y=x+c与椭圆交于A，B两点，且|AF|=3|FB|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（2016春•安徽校级月考）已知椭圆+=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|的最大值为（）A．3B．6C．4D．56．（2016•洛阳四模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线的右支上的一点，且满足∠F1PF2=60°，S=，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣y2=1B．2x2﹣=1C．3x2﹣=1D．5x2﹣=1第2页（共21页）7．（2016•河北区一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（2016•锦州一模）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．9．（2016•包头二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．（2016•黄山一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B．C．24D．4811．（2016•晋中模拟）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）第3页（共21页）A．3B．2C．D．12．（2016•衡阳一模）已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．413．（2016•高安市校级模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．14．（2016•张掖模拟）设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．（2016•湖州模拟）如图，F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．16．（2016•大庆二模）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）第4页（共21页）A．B．C．2D．17．（2016•张掖模拟）双曲线﹣2y2=1的渐近线与圆x2+（y+a）2=1相切，则正实数a的值为（）A．B．C．D．18．（2016•青岛一模）已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．19．（2016•揭阳校级模拟）已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2B．4C．D．20．（2016•嘉兴一模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．321．（2016•湖南四模）如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）A．y2=xB．y2=xC．y2=2xD．y2=4x22．（2016•宁波校级模拟）已知抛物线x2=4y，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为30°，则等于（）A．3B．C．2D．第5页（共21页）23．（2016春•绵阳校级月考）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．（0，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，﹣1）D．（﹣l，1）24．（2016•温岭市模拟）点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（）A．B．1C．D．325．（2016•宁波模拟）过C：y2=8x抛物线上一点P（2，4）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于A、B两点，则直线AB的斜率是（）A．﹣B．﹣1C．﹣D．﹣2二．解答题（共3小题）26．（2015秋•金昌校级期末）已知P是圆x2+y2=36的圆心，R是椭圆上的一动点，且满足．（1）求动点Q的轨迹方程（2）若直线y=x+1与曲线Q相交于A、B两点，求弦AB的长度．27．（2013秋•九原区校级期末）求与圆（x+2）2+y2=2外切，并且过定点B（2，0）的动圆圆心M的轨迹方程．28．（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．第6页（共21页）2016年10月01日圆锥曲线选择和轨迹参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．（2016•淮南一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．2．（2016•海口校级模拟）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21B．21C．﹣或21D．或21【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=﹣；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21．故选C．3．（2016•郑州一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为（）A．B．2﹣C．﹣2D．﹣第7页（共21页）【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6=，∴e=．故选：D．4．（2016•佛山二模）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，左焦点为F，若直线y=x+c与椭圆交于A，B两点，且|AF|=3|FB|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，联立，得（a2+b2）y2﹣2b2cy﹣b4=0．解得：=，即，．∵|AF|=3|FB|，∴yA=﹣3yB，则，第8页（共21页）∴，即，∴，∴．故选：C．5．（2016春•安徽校级月考）已知椭圆+=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|的最大值为（）A．3B．6C．4D．5【解答】解：由已知可得：a=2，=1，F1（﹣1，0），把x=﹣1代入椭圆方程可得：，解得y=．当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为=3，由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8，∴|BF2|+|AF2|的最大值=8﹣3=5．故选：D．6．（2016•洛阳四模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=2x，双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线的右支上的一点，且满足∠F1PF2=60°，S=，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣y2=1B．2x2﹣=1C．3x2﹣=1D．5x2﹣=1【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，第9页（共21页）由一条渐近线方程为y=2x，可得b=2a，由双曲线定义有|PF1|﹣|PF2|=2a，两边平方得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4a2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①由余弦定理，有|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos60°，即为|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1|•|PF2|=4c2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①②可得|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，则S=|PF1|•|PF2|sin60°=•4b2•=b2=，解得b=1，a=，即有双曲线的方程为4x2﹣y2=1．故选：A．7．（2016•河北区一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．8．（2016•锦州一模）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）第10页（共21页）A．4B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．9．（2016•包头二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（