姚天任现代数字信号处理习题解答第四五章答案

4.2．解：设ARMA(1,1)模型的传输系数为：111111)(zazbzH则：)1()()1()(11nubnunxanx所以：)1()()1()]1()([)]()([)1()]}1()()1()[({)]()([)(21211111mbmmRanmunxEbnmunxEmRanmubnmunmxanxEnmxnxEmRxx由自相关函数的偶对称性得：211)0()1()1(bRaRR（1）而又由：21)1()0(RaR（2）所以：)1()1()0(21211abaR可以得到递推关系试：221111)1()0(abaR21211212121111)(1)1()1(aabbabaaR21211111)()1()2(aabaRaR21211111)()()(aabamRm若用AR(∞)来逼近ARMA(1,1)则由Yule-Walker方程：0,)(2'1mkmRaxxkpk)(mRxx可以由递推关系写成矩阵形式：1111312111311111121111111111111)()()()(11)(11)(11abbaaaaaabbaaaabbaaaabbapppppp''2'11paaa=00011121aba矩阵中当P∞时即可得到AR(∞)逼近ARMA(1,1)时系数所对应的关系。4．3证明：设AR模型要模拟的过程为AR(p)过程，且用AR(p)模型可以精确模拟AR(p)过程其预测误差为：)]([)()()()(11^knxanuknxannxkpkkpkx取线性预测系数等于AR模型的参数则:命题得证．※４．４解：（１）1||,)()(1)(||10^NmnmxnxNmmNnxxR54540,011,1201aaD流程图：x(n))(2ne∑0,)('1mkmRaxxkpk)()()(^nUnnxx514,523,532,54)1(,1)0(^^^^^RRRRR91)1()0()2(1,1,1102120RaRiRaDii∑∑∑1z)(2ne11z++2(2)98910541121121aaa9110222aa259)1()0(1,121RaR4516259)8111()1(222221功率谱为：22221|89|5144|1|4516)(wjjwlkkjwxxeeaeS4.4由公式mninxNnr112)(1)(得：R(0)=1;R(1)=-54;R(2)=53;AR(0):20=R(0)=1AR(1):D0=a00*R(1)=-54r1541200D259*)25161(*)1(20202121r110aＡＲ（２）：++54111ra919854*9154*14516259**)11(*)1(91259251251251653R(1)aR(2)*)11(*22.22.121.11.20.210211212222211211101011raaraaarDraiRaDii一阶预测误差滤波器：259*541*)()()(21min101zzkazAzHkpk预测误差滤波器：22min1114516*91*981)()(zzzAzH979198)3(*)2()4(*)1()5(*)()5(21xaxakxkaxk（３）格型滤波器的原理图如下：x(n))(2ne)(2ne4.5解法一2.551583)2(85201262)1(1152516941)0(RRRAR(0):11)0(20RAR(1)1181115711*)121641(*)1(1188)1(*11.10.120212120010.00raarDrRaDAR(2)2853464051.0*01081.51157*)285341(*)1(285341157553455348*118526)1()2(*22.21.121.11.20.22221222221121.10.11raaraaarDrRaRaD4.5解法二4．7~4。9为汪枫、李广柱所做4.7解：模型的传输函数为：)(1)(ZAARzHkikkiaiknxa001),(其模型输出功率谱为：(1))(ˆ)(ˆ)(ˆˆ1**2zAzAARzS是随机过程自相关函数的个取样值位置变换而来，即：(2))(ˆ)(ˆmmARzmRzS由(1)、(2)式，得plplmmzAmmzAmmzAzAmlmRlammlmRlamRmammhzmRzAzzzmRzAzmR0202*21)(ˆˆ1)(ˆˆ)(ˆ)(ˆˆ)0(),(ˆ)(ˆ)(ˆ)0(),(ˆ)(ˆ)(ˆ*)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ1**21**21**2当(1)mp,plpllmRlamRlmRla01)(ˆ)(ˆ)(ˆ0)(ˆ)(ˆpllmRlapm02p,1,m00mˆ)(ˆ)(ˆ.,1,0)2(p),0,1,(i)()(b)2()1().();()2(,1),(1),((1),1),(9.4p00,0000ipaiibiaainxaaiknxaeainxaepppkikikkkikkikkikkik式，得、由后向预测系数设前向预测系数后向预测误差为：前向预测误差为：解：4．18举一反例证明在自相关法利用自相关函数的无偏估计将不能保证Yule-Walker方程的系数矩阵正定。解：设数据序列Tx)111(，则其自相关的无偏估计为：10)()(1)(mNnxxmnxnxmNmR可求得：1111310）（）（xxR，）（）（211xxxxRR显然，Yule-Walker方程的系数矩阵为：111111111非正定。反之，若采用自相关的渐近无偏估计10^)()(1)(mNnxxmnxnxNmR，可计算得1)0(^xxR，32)1(^xxR，31)2(^xxR则，Yule-Walker方程的系数矩阵为：132313213231321正定。4．19试证明矩阵的维数为pp且数据由p-1或更少的复正弦波构成时协方差法中的矩阵是奇异的。证明：设数据由p-1个复争正弦波组成，则协方差法中的元素1111)1()1()()(),(NpnNpnxxjpnxipnxinxjnxjiC4．20试证明：Burg法估计的反射系数的模总是小于或等于1的。证：21211111_2121111))1(())(()1()(2))1(())(()1()(2neneneneneneneneppNpnppNpnppNpnppp1)1()(2)1()(2111111NpnppNpnppnenenene得证。4．21以AR（3）为例，证明格形滤波器中各阶反向预测误差是互相正交的。证明：以AR（3）为例，得到格形滤波器的各阶反向预测误差为：303132333,32021222,210111,11)3()2()1()()()(3)2()1()()()(2)1()()()(iiiiiinxnxanxanxainxanenxnxanxainxanenxnxainxane则)1()2()0()1()1()0()]()([1121112122112212xxxxxxRRaRaRaaRaRaaneneE由二阶Yule-Walker方程001)0()1()2()1()0()1()2()1()0(22221aaRRRRRRRRRxxxxxxxxx知0)1()0()1(2221xxxRaRaR代入上式，则0)2()1()0([)2()1()0()]()([212211111121112212xxxxxxRRaRaaRaRaaRaaneneE同理可证，)(3ne与)(1ne正交，)(3ne与)(2ne正交。故命题成立。过程。阶的这个过程可以表示成这个无限阶的即过程表示的过程可以用一个无限阶定理推证，任何分解模型参数，根据恰等于，即最佳线性预测系数的解必相同，即同样的自相关值，它们方程相同，若二者是有模型的这与由正交原理，则来选取，即按预测误差功率最小准预测系数。来预测线性组合的个已知数据）过程，现根据它的设有一方程。）模型的即为方程的求解：MAqknubnxARknxanxARMAWoldMAbbWalkYuleqMAkRlkhbkRexEnxnxEnbnxknubnxpnxnxnxpqMAWalkYuleqMAqmkmhblkmlhbknmulnuElhbknmulnulhEknmunxEknmubnxEnmxnxEmRknubnxWalkYuleqMAqkkkkklqlliikqkkqkkqklkqklkqklqkqkkXXqkk0112220121021010110)()(ˆ)()(ˆ)(1qm0)(q,0,1,k)()(0][min]))(ˆ)([()](E[e)()()(ˆ)}(,),2(),1({((,,1,0,)()()()]()([)()}()]()({[)]()([]})()[({)]()([)()()()(23.4第五章答案5.18