孙会元固体物理基础教案4.0序言

第四章晶格振动和晶体的热学性质本章主要内容：第一节晶格振动的经典处理第二节长波近似第三节简谐晶体的量子理论第四节晶格比热第五节声子态密度第六节晶格振动谱的实验测定第七节非简谐效应4.0.序言在前几章的学习中,我们主要讨论了T=0K时,理想晶体中价电子的行为.对于组成晶体的原子或离子实的运动没有考虑,尽管我们在第二章讨论了构成晶格的原子或离子实在晶体中的分布情况,但仍然假定了这些原子或离子实在晶体中是固定不动的—属于静止晶格的模型。静止晶格的模型对于解释主要由导电电子决定的平衡态性质和输运性质方面,相当成功.但是,按照上述理想的模型,在周期势中运动的电子不会受到散射作用,因而导致热导和电导趋于无穷大,这与实际情况不相符.此外,对于绝缘体的许多物理性质也无法解释。晶格振动的强弱依赖于温度,它在晶体热力学中起重要作用.晶体的比热、热膨胀和热导等热学性质直接依赖于晶格振动,晶体的光吸收和光发射等光学性质也与晶格振动有关.此外,通过晶格振动的相互作用,电子和电子之间还会产生不同于库仑力的相互作用,形成所谓的库柏对,产生超导电性。实际上，在有限的温度下，组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以格点为平衡位置作热振动，称为晶格振动。显然，晶格振动将使晶体势场偏离严格的周期性，从而对布洛赫电子产生散射作用，并影响到与电子有关的输运性质。从晶体中原子的振动出发去讨论晶体的宏观物性，常称为晶格动力学。晶格动力学的研究是从讨论晶体热学性质开始的.而热运动在宏观性质上最直接的表现就是比热容.这也是热统中学过的内容。早在19世纪,根据经典统计理论的能量均分定理,把比热容与原子振动联系起来,解释了杜隆-珀蒂(Dulong-petit)经验定律.经典理论不涉及原子的振动频率,任何晶体的比热容只决定于系统的自由度而与温度无关.因此不能解释在低温下,比热容随温度降低而减小的实验事实.爱因斯坦开创了固体比热容量子理论的先河.但是由于该模型过于简单,所以,超过某一温度范围,它对任何材料都不能给出正确结果.1913年,波恩(M.Born)和卡门(VonKarman)在他们发表的“关于比热容理论”的论文中,考虑到周期性晶格模型,提出晶格系统的运动不易用个别原子的振动去描述。1907年,爱因斯坦(A.Einstein)把晶体中的原子看成一些具有相同频率E并能在空间自由振动的独立振子.每个振子的能量以为单位量子化(普朗克(M.Planck)的量子假设),得到温度趋于绝对零度时,比热容趋于零的结论.Eh波恩和卡门认为晶格系统要用具有一定波矢、频率和偏振的行波来表示,称为系统的“简正模”(normalmode),每个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是量子化的.与晶体相联系的波的频率不是单一频率,而是具有一定的频率分布,这个频率分布按复杂的规律依赖于原子间的相互作用.其实,1912年,德拜(P.Debye)也发表了一篇“关于比热容理论”的论文,他把晶格振动的“简正模”看作似乎是一个连续的、各向同性的介质中的波,而不是集中在一些分立格点上振动的波.德拜模型虽然表面上不如波恩和卡门模型,但是由于德拜模型简介有效,实际上更加成功.第三章我们曾给出了体系的总的哈密顿，假定晶体体积,含有N个带正电荷Ze的离子实，Z为单原子的价电子数目，因而，晶体中有NZ个价电子。即：3VLN个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用表示；nRvNZ个价电子,简称为电子,其位矢用表示。irv则系统的哈密顿为：,enenHHHH20,01101(,)4NZNeneninininZeHVrRrR当时考虑的是晶格不动,因而格点位矢代表平衡位置.为了和考虑晶格振动后的格点位矢区分,我们把晶格不动时的格点位矢加一个上角标0.考虑晶格振动后,上式变为：2,1101(,)4NZNeneninininZeHVrRrRRn代表所有离子实的瞬时坐标。按照绝热近似或称为玻恩—奥本海默(Born-Oppenheimer)近似认为电子体系的运动总能跟上离子实的运动。因而，绝热近似下系统总的波函数可以写成电子部分和离子实部分的乘积。亦即：0(,)()nnrRR其中为描述电子的波函数，认为离子实仍位于平衡位置；为离子实部分。从而，系统的薛定谔方程变为:0(,)nrR()nR00(,)()(,)()nnnnHrRRrRR对薛定谔方程两边左乘，并对电子坐标积分，得：*0(,)nrR*00*[(,)(,)(,)]()()eennnennennnnHVrRHVrRVrRRdrRdr所以00(,)()(,)()nnnnHrRRrRR*0[(,)(,)]()()enennennnnHVrRVrRdrRRεe是电子系统哈密顿量的本征值。将体系的总能量写成电子部分εe和离子实部分εn之和，则晶格的薛定谔方程为[()]()()nnnnnTVRRR其中，离子实之间的相互作用势：离子实之间的关联作用，使方程变成多体问题。本章首先从简谐晶体的经典运动讨论起，建立离子实的运动方程,得到晶格振动“简正模”(normalmode)的能量和频率并讨论其色散关系(即能量或频率随波矢的变化)。[()]()()nnnnnTVRRR*000()(,)(,)[(,)(,)](,)nnmnmnennennnVRVRRrRVrRVrRrRdr对于这样的多体问题，本章将利用离子实对平衡位置偏离很小这一事实，对这种偏离作级数展开。级数展开后，首先只保留到第一个非零项(2次项)，即简谐近似(harmonicapproximation)，相应的晶体称为简谐晶体。最后讲述晶格振动谱的实验测定以及非简谐项带来的物理效应—晶体的热膨胀和热导率。然后对简谐晶体进行量子力学处理，引进简正坐标将多体问题化为单体问题，并建立了声子(phonon)的概念，即把晶格振动波的能量量子称为声子。晶格振动波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性的两个表示。库柏对就是电子和电子之间通过声子联系在一起的。本章重点：一、简谐近似，一维单、双原子链中格波的色散关系，声学支和光学支；二、简正坐标，声子，晶格比热；三、EinsteinmodelandDebyemodel；四、测定晶格振动谱的实验方法；五、N-processandU-process；つづき