高中文科数学平面向量知识点整理

-1-高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：a=-bb=-aa+b=0向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a.（222222||,||axyaaxy。）零向量：长度为0的向量。a＝O｜a｜＝O.【例题】1.下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____（答：13）；2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：ababab．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．baCabCC-2-3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．【例题】（1）①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____（答：①AD；②CB；③0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，,,ABaBCbACc，则||abc＝_____（答：22）；（3）已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFF，则合力123FFFF的终点坐标是（答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且1MPMN3，则点P的坐标为_______（答：7(6,)3）；5、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．设11,axy，22,bxy，（0b）22()(||||)abab。【例题】(1)若向量(,1),(4,)axbx，当x＝_____时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)abx，2uab，2vab，且//uv，则x＝______（答：4）；-3-6、向量垂直：0||||abababab12120xxyy.【例题】(1)已知(1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m（答：32）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点B的坐标是________（答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),nab向量nm，且nm，则m的坐标是________（答：(,)(,)baba或）7、平面向量的数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③abab．⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．若,axy，则222axy，或22axy．设11,axy，22,bxy，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.则a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝x2y1.设a、b都是非零向量，11,axy，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy；（注||||||abab）【例题】（1）△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____（答：1）；-4-（3）已知2,5,3abab，则ab等于____（答：23）；（4）已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____（答：30）（5）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：43或0且13）；（6）已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；（答：150°）；8、b在a上的投影：即||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为______（答：512)平面向量高考经典试题一、选择题1．已知向量(5,6)a，(6,5)b，则a与bA．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向2、已知向量(1)(1)nn，，，ab，若2ab与b垂直，则a（）A．1B．2C．2D．43、若向量,ab满足||||1ab，,ab的夹角为60°，则aaab=______；4、在ABC△中，已知D是AB边上一点，若123ADDBCDCACB，，则（）A．23B．13C．13D．23-5-5、若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A．EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOE6、已知平面向量(11)(11)，，，ab，则向量1322ab（）Ａ．(21)，Ｂ．(21)，Ｃ．(10)，Ｄ．(12)，二、填空题1、已知向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是．2、若向量ab，的夹角为60，1ab，则aab．3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为(00)O，，(11)B，，则ABAC．三、解答题：1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．(1)若0ABAC，求c的值；(2)若5c，求sin∠A的值2、在ABC△中，角ABC，，的对边分别为tan37abcC，，，．（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求c．3、在ABC△中，abc，，分别是三个内角ABC，，的对边．若4π,2Ca，-6-5522cosB，求ABC△的面积S．4、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若33a，5c，求b．5、在ABC△中，1tan4A，3tan5B．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长．答案选择题1、A.已知向量(5,6)a，(6,5)b，30300ab，则a与b垂直。2、C2(3,)nab=，由2ab与b垂直可得：2(3,)(1,)303nnnn，2a。3、32解析：1311122aaab，4、A在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=CBCA31，则22()33CDCAADCAABCACBCA1233CACB，=32。5、B由向量的减法知EFOFOE6、D1322ab(12).，-7-填空题1、解析：已知向量2411ab，，，==．量(2,4)ab，()bab+，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．2、21【解析】2211cos60122aabaabaab。3、解析：(0,1)(1,1)0(1)111.ABAC解答题1、解:(1)(3,4)AB(3,4)ACc由3(3)162530ABACcc得253c(2)(3,4)AB(2,4)AC6161cos5205ABACAABAC225sin1cos5AA2、解：（1）sintan3737cosCCC，又22sincos1CC解得1cos8C．tan0C，C是锐角．1cos8C．（2）52CBCA，5cos2abC，20ab．又9ab22281aabb．2241ab．2222cos36cababC．6c．3、解：由题意，得3cos5BB，为锐角，54sinB，10274π3sin)πsin(sinBCBA，由正弦定理得710c，111048sin222757SacB．-8-4、解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457．所以，7b．5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ）π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．（Ⅱ）34C，AB边最大，即17AB．又tantan0ABAB，，，，角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABC．所以，最小边2BC．