在极坐标系下二重积分的计算

第九节在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元rdrdd注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为,cosrx,sinry从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为DDrdrdrrfdxdyyxf)sin,cos(),((9.1)内容分布图示★利用极坐标系计算二重积分★二重积分化为二次积分的公式★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★内容小结★课堂练习★习题6-9★返回内容提要：一、二重积分的计算1．如果积分区域D介于两条射线,之间，而对D内任一点),(r，其极径总是介于曲线)(),(21rr之间（图6-9-2），则区域D的积分限).()(,21r于是DDrdrdrrfdxdyyxf)sin,cos(),(.)sin,cos()()(21rdrrrfd(9.2)具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(上任意作一条极角为的射线穿透区域D（图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21就分别为内层积分的下限与上限.2．如果积分区域D是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21的特例，此时，区域D的积分限).(0,r于是.)sin,cos(),()(0rdrrrfddxdyyxfD(9.3)3．如果积分区域D如图6-9-4所示，极点位于D的内部，则可以把它看作是第二种情形中当2,0的特例，此时，区域D的积分限).(0,20r于是.)sin,cos(),()(020rdrrrfddxdyyxfD(9.4)注：根据二重积分的性质3，闭区域D的面积在极坐标系下可表示为DDrdrdd(9.5)如果区域D如图6-9-3所示，则有drdrdrdrdD)(21)(0(9.6)例题选讲：例1（讲义例1）计算Dyxdxdy221，其中D是由122yx所确定的圆域.例2（讲义例2）计算Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域D是由4122yx所确定的圆环域.例3（讲义例3）计算Ddxdyxy22,其中D是由曲线xyx222所围成的平面区域.例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分Ddxdyyxf),(的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2xxyxyxD例5计算dxdyyxD)(22,其中D为由圆yyxyyx4,22222及直线03yx,03xy所围成的平面闭区域.例6将二重积分dyxfD),(化为极坐标形式的二次积分,其中D是曲线,222ayx42222ayax及直线0yx所围成上半平面的区域.例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222yxayx和ayx22所围成区域D的面积.例8（讲义例6）求球体22224azyx被圆柱面axyx222)0(a所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.课堂练习1.计算Dyxdxdye22,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.2.计算,|2|22Ddyx其中3:22yxD.