在物理实验教学中如何让学生掌握和应用误差与不确定度

在物理实验教学中如何让学生掌握和应用误差与不确定度郑元(江汉大学，物理与信息工程学院)摘要:本文阐述了物理实验中的测量误差与不确定度的概念及它们之间的区别和联系，采用不确定度方法来处理实验数据的重要性和必要性。为帮助学生掌握和应用这一方法，给出了简化的实验结果不确定度的表达式和计算程序方法。关键词:物理实验;误差;不确定度引言物理实验中有两个方面的内容：一是定性地观察物理现象和变化过程；二是定量地测量物理量并确定物理量之间的关系。实践证明，任何测量都会产生误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量的过程之中。而误差的存在，将直接影响测量结果的大小。因此，对于误差的研究和对于测量数据处理是物理实验中的重要环节。实验数据的处理主要是对测量结果作出一个合理的评估，对测量的质量作出科学的评价。传统的方法是用误差来评定测量结果。我们都知道，真值是无法确定的，所以它会导致误差无法计算。用无法知道的量去评价测量结果的质量显然是不太合适的。因此，国际上通行的做法是用不确定度来对测量结果进行质量的评价，也对误差进行评价。而不用误差来评价测量结果的质量。目前，国内大学物理实验教学中，用不确定度对测量结果进行评价方法正在逐步被广泛采用。在实际物理实验教学工作中发现，误差和不确定度的概念、它们之间的区别和联系是教学工作中的重点，而用不确定度来处理实验数据是难点。为使学生更好地理解掌握和应用不确定度这种方法，引导学生将注意力放在对基本概念的理解和实际方法的应用上。在教学中须把握4个方面要点：（1）、误差与不确定度概念；(2)、误差与不确定度的区别和联系；（3）、不确定度A类评定与B类评定方法和适用范围；（4）、正确地表达测量结果。一、误差与不确定度的概念1.1误差物理实验是以测量为基础的,在实际中,由于测量仪器不准确、测量方法不完善、环境条件不稳定、测量人员不熟练等原因,测量结果都可能具有误差.误差分为随机误差和系统误差.系统误差包括已定系统误差和未定系统误差;随机误差是测量误差的一部分,其分布常常满足一定的统计规律.既然测量结果不可避免地含有误差,在实验数据处理过程中,对已定系统误差应采取修正的方法予以避免和消除;若无法消除或修正(未定系统误差或随机误差),应评估其对测量结果可靠性的影响或误差范围.1.2不确定度科学实验要求实验结果不仅要给出被测量的值,而且要同时给出该测量值的准确程度或不确定程度.不确定度存在的原因在于任何测量都存在不确定性,它反映的是可能存在的误差分布范围,即随机误差分量和未定系统误差分量的联合分布范围,是测量结果不能确的程度,是测量质量的量度,通常用符号∃表示.不确定度不仅表征测量结果的可靠程度,反映测量的精确度,更重要的是,人们在进行一项实验工作之前,往往要根据对实验结果测量的不确定的估计和要求来正确设计实验方案,合理选择仪器和选择测量最有利条件等,在实验过程中和实验后,通过对不确定度大小及其成因分析,找到影响实验精确度的原因并加以校正,提高实验准确率度.不确定度按测量数据的性质分为两大类:A类不确定度和B类不确定度.对A类不确定度往往采用数理统计方法对测量结果进行分析并做出评定,B类不确定度常采用非数理统计方法分析处理数据.同时,测量不确定度的理论仍保留了系统误差的概念.误差与不确定度的区别及联系2.1�概念上的区别误差与不确定度是两个不同的概念.误差是测量值与真值之差,由于真值的不可知,误差实际上很难确定.一般情况下,它是未知的、不确定的,由于其局限性,不宜用它来定量表示测量结果;而不确定度是表示误差可能存在的范围,是测量结果分散性的一种表征,它的大小可以按一定的方法计算(或估计)出来.误差分析强调的是误差值,测量不确定度强调的是测量结果的离散性及可靠程度.误差是客观存在的,不受外界因素影响,也不以人们的认知程度而改变.而测量不确定度是由人们经过统计分析计算得到的,实验过程中能否正确认识把握,实验方法是否优化,实验结果有无充分修正都对其有着不可忽视的影响.所以,不确定度小,不一定误差的绝对值也小;同样,误差大,并不表示其不确定度一定大.2.2�评定结果的区别误差分为随机误差和系统误差.由于误差的这种分类方式,在计算误差时,必须分清测量结果的诸多误差中哪些是随机误差,哪些是系统误差;而在评价测量结果时,随机误差和系统误差应分别计算.系统误差常用仪器最大允差�仪表示,随机误差常用标准偏差SX#表示.在实际教学中,对一次测量结果的标准误差常常用仪器最大允差�仪替代,只考虑系统误差,对随机误差没作考虑;对多次重复测量的物理量,这时,随机误差SX#与系统误差�仪要作比较,取数值大者表示测量结果的误差.对系统误差和随机误差同时考虑并合成,传统的误差理论中很少提及,这种评价测量结果是不全面的.而不确定度理论摒弃了传统的误差理论按!系统误差∀和!随机误差∀的分类方式,采用定义明确、容易计算的A类不确定度和B类不确定度.这从根本上避免了传统误差理论由于分类而造成的概念混淆.A类不确定度通常采用数理统计方法评定,为多次重复测量时与随机误差有关的分量;B类不确定度常采用非数理统计方法分析处理数据,大多数是与未定系统误差有关的分量.尽管两类分量采用的计算方法不同,但由于同样具有统计性质,可以进行合成,测量结果的最终误差是这两类分量在相同置信概率下合成的总不确定度.这种评定结果比传统误差理论更全面、科学.2.3�两者联系虽然误差与不确定度有种种不同,但它们之间有着密切的联系.因为任何测量都不可避免产生误差,也正是由于误差的客观存在,才会出现测量数据的离散,对此,采用贝塞耳公式估算分散的标准偏差,从而引入了不确定度对误差处理的评价体系.不确定度概念的建立并不意味传统误差理论的结束,误差分析仍然是测量不确定度评价体系的理论基础,研究不确定度首先必须研究误差,只有充分了解实验过程中误差的来源、性质和分布情况,分清它们之间相互关联及其传递关系,才能更好地理解不确定度概念,熟练掌握用不确定度评价体系具体评定测量数据的处理结果.所以,不确定度评价体系是在传统误差理论发展的基础上逐步建立、发展和完善的,是误差理论的应用和拓展.对误差与不确定度之间的区别和联系,学生往往容易出现认识上的模糊,这就要求教师对此应重视,在研究教学难点时,应结合学生实际情况进行具有针对性的讲解,澄清模糊概念,让学生对两者有清晰的认识和理解,为学好不定度评价体系理论建立基础.3�不确定度的简化评定方法依据国家计量技术规范的要求,我们在物理�%�82�%������������成都大学学报(自然科学版)������������第27卷实验教学中采用了一种简化的,且具有一定近似性的不确定度的估计方法.在物理实验测量结果表示中,我们将不确定度分为3类.(1)A类评定不确定度.在同一条件下多次测量,即由一系列测量结果的统计分析评定的不确定度,简称A类不确定度,记为�A.(2)B类评定不确定度.由非统计分析评定的不确定度,简称B类不确定度,记为�B.(3)合成标准不确定度.某测量结果的A类与B类不确定度按一定规则算出的测量结果的标准不确定度,简称合成不确定度.3.1�A类不确定度在相同条件下,对某物理量x作n次等精度测量,得到测量列x1,&,xn,其平均值X#为,X#=1n∋ni=1xi其数值呈现出离散性,而且是随机性分布的,但随着n的无限增大,该测量列的数值分布呈现出越来越稳定的规律性.在物理实验的实际测量中,一般只能进行有限次测量,这时测量误差并不完全服从正态规律,而是服从称之为t分布的统计规律.在这种情况下,等精度条件下对同一被测物进行有限次测量时,其A类不确定度分量�A等于测量值由贝塞尔公式得到的平均值的标准偏差SX#乘以t因子,即,�A=t%SX#=t%∋ni=1(xi-X#)2�n(n-1)式中,t称为!t因子∀,它与测量次数和!置信概率∀有关,(所谓!置信概率∀是指真值落在X#(�A(x)范围内的概率),t因子的数值可以根据测量次数和置信概率查表得到.在大学物理实验中,对同一测量值作多次重复测量,一般,5�n�10,为简便常取t=1,这时即把多次测量的平均标准偏差SX#的值当作多次测量中用统计方法计算的A类不确定度�A,简化为,��A=SX#3.2�B类不确定度对于不确定度B类分量,虽然不用统计方法进行计算,但在对它估算时采用了先验概率分布,所以同样具有概率概念.B类不确定度可表示为,��B=�仪�K,式中,K是一个与仪器不确定度�B概率分布特性有关的常数,称为!置信因子∀.通常,B类不确定度主要采用的概率分布有:正态分布、均匀分布、三角分布、反正弦分布、二点分布等,置信因子K分别取3、3和6等,常根据测量实际和实验经验确定它属于哪种分布来选择K值.在大学物理实验中,很多实验教材在评定B类测量不确定度时,采用近似方法,完全忽略概率分布与置信概率对其的影响,最常用到的是,在大多数情况下,把测量仪器的最大容(允)许误差�仪简化为总不确定度中用非统计方法估计的B类分量�B,即�B=�仪.从理论和实际应用来分析,此近似是有局限性的,我们只是在教学应用中采用此方法.通常,仪器!最大误差∀或!不确定度限值∀在教学实验中可由仪器说明书及有关技术规范给出.实际应用中,涉及到有些仪器说明书没有直接给出其不确定度限值,但给出了仪器的准确度等级,那么其最大误差只有通过计算才能得到,具体为,仪器最大误差或不确定度限值等于其满量程值乘以等级.3.3�合成标准不确定度对直接测量的物理量x来说,测量结果的标准不确定度同时含有相互独立的A类分量�A和B类分量�B,为得到!合成标准不确定度∀,以给出测量结果的综合指标,应按如下方法进行!合成∀,��=�2A+�2B在实际教学中,一般取�A=SX#,�B=�仪.在间接测量中,待测量(即复合量)是由直接测量的物理量通过计算而得,若N=f(x,y,z,&),且x、y、z、&相互独立,则测量结果N的标准不确定度�N的传递公式可由下式给出,�N=(�f�x)2%�2x+(�f�y)2%�2y+(�f�z)2%�2z+&式中,�f��x,�f��y,�f��z称为不确定度的传播系数(或灵敏系数),即x,y,z,&变化单位量引起的N的变化.在实际教学过程中,为帮助学生厘清思路,熟练掌握不确定度的简化评定方法的计算过程,特设计了下列数据处理过程流程图(见图1),以方便学生在实际操作中应用.需要注意的是,不确定度�及相对不确定度E的有效数字一般取一位或二位(其首位数�3,一第1期����王向川:误差与不确定度在物理实验教学中的重点把握及应用%83%图1�数据处理过程流程图般取一位;否则取二位),表示测量结果的有效数字其尾数应与不确定度的尾数对齐。4�不确定度评定的具体应用下面以大学物理实验所涉及的用光杠杆法测量微小长度变化量来测量金属丝杨氏模量实验为例,用不确定度评定的简化评定方法进行数据处理,从而得到测量结果的完整表述.具体测量数据N�m25�结�语不确定度的评价体系对实验结果的评定因其具有科学性、全面性和可实际操作性,目前在大学物理实验中数据处理方面越来越得到重视和应用.在实际教学过程中,教师应结合具体情况,善于总结出重点,把握理解知识难点,理顺各个概念之间的关系和计算过程,让学生真正理解和掌握不确定度的评价体系是非常重要的.参考文献:[1]沈元华,陆申龙.基础物理实验[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]赵青生.大学物理实验[M].合肥:安徽大学出版社,2004.[3]李耀清.实验的数据处理[M].合肥:中国科技大学出版社,2003.[4]沈元华.关于误差和不确定度的4个问题的讨论[J].物理实验,2004(12):20-21�[5]王承忠.测量不确定度与误差的区别及在评定中应注意的问题[J].物理测试,2004(1):1-5�UnderstandingandApplicationofErrorandUncertaintyinPhysicalExperimentTeachingWANGXiangchuan(HefeiUniversity,Hefei2000