反例在数学分析中的应用毕业论文

本科毕业论文题目：反例在数学分析中的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：二〇一年月反例在数学分析中的应用摘要：数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。关键词：数学分析反例数列极限微积分Abstract：Mathematicalanalysisisanimportantbasiccourse,it'sveryimportanttotheformationofmathematicalthoughtofstudentsandlearningofthefollowingcourses.Howevertherearealotoftheoremsandpropositions,usingappropriatecounterexamplesfromanothersidecanrecognizetheessenceofconceptorrules,andit’seasiertodeepentheunderstandingofknowledge.ThecounterexampleofthoughtisanimportantthoughtinMathematicalthought,anditplaysanirreplaceableroleintheunderstandingoftheconcept,natureandtheresearch,reasoningofproblems.Tounderstandconceptscorrectly,Consolidateandmastertheorem,formulaandrule,etc,trainthelogicalthinkingabilityofstudentsandpreventandcorrecterrors,it’snecessarytousecounterexamplesfelicitously.Keywords:MathematicalAnalysisCounterexampleSeriesLimitCalculus目录序言.....................................................11收敛数列的性质及反例...................................21.1关于收敛数列的定义应用不当产生的反例...................................................................21.2关于单调有界数列收敛的定理逆命题的反例...............................................................31.3关于数列收敛四则运算法则的反例...............................................................................41.4有界变差数列逆命题的反例...........................................................................................52函数极限与性质的反例...................................62.1函数极限的定义的反例....................................................................................................62.2无界函数与极限趋于无穷大概念混淆产生的反例.......................................................62.3关于不连续函数的和与积是连续函数的反例...............................................................72.4周期函数的和不是周期函数的反例...............................................................................82.5介值定理的反例...............................................................................................................93一元函数微积分中的反例................................103.1一元函数微分学中的反例.............................................................................................103.1.1中值定理相关反例.............................................................................................103.2一元函数积分学反例.....................................................................................................123.2.1Riemann可积相关反例......................................................................................123.2.2Newton-Lebniz公式相关反例.........................................................................133.2.3积分中值定理相关反例.....................................................................................134级数中的常见反例......................................144.1级数收敛，但其立方项级数不收敛.............................................................................144.2条件收敛级数重新排序后发散的反例.........................................................................154.3条件收敛级数可以不是交错级数.................................................................................154.4两级数收敛，但它们的Cauchy乘积发散...................................................................165多元函数微积分中的反例................................175.1多元函数的极限与连续及其微分学反例.....................................................................175.1.1累次极限和二重极限的相关反例.....................................................................175.1.2多元函数微分学其他反例.................................................................................185.2重积分及其反例.............................................................................................................195.2.1同一函数累次积分不同的反例.........................................................................195.2.2与曲线方向无关的第二类曲线积分.................................................................20总结....................................................22参考文献................................................23致谢：..................................................24-1-序言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。本文一共分为五个章节：数列、函数、一元函数微积分、级数和多元函数微积分。数列部分主要以讨论数列的收敛定义、收敛数列的判定、收敛数列的性质等反例；函数主要讨论了函数的连续，有界，周期等性质的反例；一元函数微积分学分别讨论了中值定理，Riemann可积等相关反例；级数部分讨论了几种特殊级数的反例；多元函数微积分学讨论了累次极限，累次积分等反例。针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。-2-1收敛数列的性质及反例1.1关于收敛数列的定义应用不当产生的反例一般的，有如下收敛数列的定义。设na为一数列，如果存在常数a，对任意给定的正数，总存在正整数N，使得当nN时，不等式aan都成立，那么就称常数a是数列na的极限，或者称数列na收敛于a，记为：aannlim,或).(naan如果不存在这样的常数a，就说数列na没有极限，则称na不收敛，或称na为发散数列。在应用极限的精确定义判定数列是否收敛时，可能由于应用不当产生错误，可能会产生以下两个论断(1)有无穷多个0，对每一个，N，当nN时，有aan.(2)对任意正数，有无限多个na，使aan.这两个论断看似跟精确定义等价，而实际上，它们忽略了重要的问题。论断(1)忽视了的最本质属性“任意小正数”。存在反例：数列1(1)nna﹣，尽管有无穷多个0（如=3,4,5...）,可以使|1(1)|nnaaa