均值不等式学案

3．2均值不等式（一）编号22编写：张春燕验证：崔世波审核：2009-10-11一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a2+b2()（2）2ba（）（3）ab＋ba（）（4）x＋x1(x0)（5）x＋x1(x0)（6）ab≤（）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a1+b1+c1≥9．例⒉（１）一个矩形的面积为100m2。问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（２）已知矩形的周长为36m。问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练⒈已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（）Ａ．a2+b2Ｂ．２abＣ．2abＤ．a+b⒉判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若a、b∈R，则ab＋ba≥2baab＝2（）（2）若x、y∈R＋，则lgx＋lgy≥2yxlglg（）（3）x∈R－，则x＋x4≥－2xx4＝－4（）（4）若x∈R，则x2＋x2≥2xx22＝2（）⒊x∈R，下列不等式恒成立的是（）A．x2+1≥xB．112x1C．lg(x2+1)≥lg(2x)D．x2+44x⒋设x0，则函数y=2－x4－x的最大值为；此时x的值是。5．若x1，则logx2＋log2x的最小值为；此时x的值是。6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为__________________；四课后练习(题目分为A、B、C三级，A、B为必须掌握的，C供学有余力的学生选作。)一．选择题：A1．下列命题正确的是（）Ａ．a2+12aＢ．│x+x1│≥2Ｃ．abba≤2Ｄ．sinx+xsin4最小值为4．A2．以下各命题(1)x2+112x的最小值是1；（2）1222xx最小值是2；(3)若a0,b0,a+b=1则（a+a1）(b+b1)的最小值是4，其中正确的个数是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3A3设a0,b0则不成立的不等式为（）Ａ．ab＋ba≥2Ｂ．a2+b2≥2abＣ．ab2＋ba2≥a＋bＤ．ba112+ba2B4设a、bR＋，若a+b=2，则ba11的最小值等于（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4B5已知ab0，下列不等式错误的是（）Ａ．a2+b2≥2abＢ．222baaＣ．baabab2Ｄ．112baab二．填空题：A6若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．B7已知x1.5，则函数y＝2x+324x的最小值是_________．C8已知a、b为常数且0x1，则xbxa122的最小值是_________________________．三．解答题：B9已知x,y∈（－3，3）且xy＝－1，求s=22121233yx的最小值。B10在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长。五、课后反思：通过本节课的学习，你有什么收获？写在下面。3．2均值不等式（二）编号23编写：张春燕验证：崔世波审核：2009-10-11一、学习目标：1．通过学习，进一步加深对均值不等式的理解，能灵活地用均值不等式解决有关问题。2．培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。二、重点难点：重点：均值定理应用难点：均值定理的理解三、学习过程：（一）填空1、（1）222baab（2）22ba（3）baab（条件：）（4）22ba（5）bba2（条件：）（6）推广：如果有n个正数naaaa,,,,321，则naaan21nnaaa212、均值不等式求最值，在利用“两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值”这个结论时，应注意使这个结论成立的三个前提条件。即：“一正二定三相等”。（1）一正：各项或各因式非负；（2）二定：和或积为定值；（3）三相等：各项或各因式都能取得相等的值。（二）典型例题1、判断123fxxx的最小值是12吗？为什么？如果是，需要什么条件2、是否可以用均值不等式的相关知识求221313fxxx的最值，为什么？.3、已知,,abc是正数，且1abc，求证：1118abcabc跟踪练习：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值4.求函数271011xxyxx的最小值及此时x的值。（三）课堂训练1、下列结论正确的是（）A.当01xx且时，1lg2lgxxB.当0x时，12xxC.当2x时，1xx的最小值是2D.当02x时，1xx无最大值2、已知30x，则29yxx的最小值为（）A.92B.32C.12D.923、若01,01xy，则xy，则22,,2,2xyxyxyxy中最大的一个是（）A.22xyB.xyC.2xyD.2xy4、函数241xxyx在1x的条件下的最小值为；此时x5、当1x时，求4311yxx的最小值以及对应的x的值.四、课后练习一、选择题A1、若xR，则下列不等式成立的是（）A.2lg1lg2xxB.212xxC.2111xD．2122xxA2、设,xy满足220xy的正数，则lglgxy的最大值是（）A.50B.20C.1lg5D.1A3、已知01x，则33xx取得最大值时x的值为（）A.13B.12C.34D.23B4、已知正数,xy，满足491xy，则xy有（）A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144B5、已知52x，则24524xxfxx有（）A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1C6、点,Pxy在经过3,0A，1,1B的两点的直线上，那么24xy的最小值是（）A.22B.42C.16D.不存在C7、若1ab，lglgPab，1lglg2Qab，lg2abR，则下列不等式成立的是（）A.RPQB.PQRC.QPRD.PRQ二、填空题A8、已知221xy，对于满足条件的,xy恒有不等式0xyk成立，则k的最大值为；A9、判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若a、b∈R，则ab＋ba≥2baab＝2（）（2）若,xyR，则lgx＋lgy≥2yxlglg（）（3）若0x，则x＋x4≥－2xx4＝－4（）（4）若x∈R，则x2＋x2≥2xx22＝2（）三、解答题A10、求函数2301xfxxxx的值域B11、已知0,0xy，如果xyaxy恒成立，那么a应该满足什么范围？四、选做题C试比较222,,,,22abababababRab这四个数之间的大小.五、课后反思：通过本节课的学习，你有什么收获？写在下面。