坐标变换基础知识

0、前言本文主要介绍了三相电力变换设备中常用的坐标变换理论已经多端口网络的功率计算方法。不是什么创新内容，目的是帮助理解而已。因为坐标变换本来很简单，但是还是有好多人在其中纠结，或者搞不明白为什么，或者不理解为什么会有多种变换形式。同时也表达我的一些观点：一、任何高深的理论经过在实际应用中总是会转化为简单的计算或者简单的计算式，尤其以信号处理为代表。很厚的一本书，看了半天也看不懂什么是IIR，但是拿到别人的程序，其中只有一句话。因为用的人不一定要懂很多，只要知道是什么，如果需要修改怎么改就可以了，所以本文的介绍力求深入浅出。二、恰恰相反，实际应用中很简单的过程可能都有特定的甚至十分深奥的理论支持。所以，搞工程的人很可能对所有的过程讲的头头是道，但是在深问为什么就打不上来了。这样就是深度达不到，眼界也达不到。所以，本文避免了许多论文里一上来就“在三相对称系统中通常采用……坐标变换”，而是尽可能地把自己了解到的相关的知识加进来。种水稻的人可能没有系统的理论知识，但是袁隆平不可能在没有系统的知识的前提下就发现了天然不孕系水稻，并培育出两系、三系杂交水稻。注：相关知识的拓展可以自行上网搜索；另外，本文没有仔细检查，难免有疏忽和错误之处，请阅读时注意。一、背景知识介绍1.巴拿赫（Banach）空间：完备的赋范线性空间。略去完备性定义。2.希尔伯特（Hilbert）空间：定义了内积的Banach空间或者完备的内积空间。设U为数域K（实数或者复数）上的线性空间，对于Uyx,，如果存在唯一的Kyx,，内积满足下列三条（内积定理）：a）对第一变元的线性：zyzxzyx,,,b）共轭对称性：xyyx,,c）正定性：0,xx，当且仅当0x时有0,xx则称yx,为x和y的内积，U为内积空间。如果数域K为复数，则称为复内积空间，如果数域K为实数，则为实内积空间。简单来说，定义了垂直或者角度概念的空间就是内积空间，我们之前接触的直角坐标系就是内积空间，也是Hilbert空间。在实内积空间中内积定理的第二条（b）就退化为交换性，也就是我们高中学习的点积的交换性。内积导出的范数：xxx,说明xx,是范数只要验证xx,满足范数的三定理：a)正定性；b)线性：xxc)柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式：yxyx3.单纯矩阵：可对角化的矩阵。本节略去相似矩阵等一系列线性代数的基本知识。A可对角化等价于A的代数重复度和几何重复度相等，也等价于A有n（阶数）个线性无关的特征向量。若当标准化：不是每一个满秩的A都可以对角化，若A的某个特征值的几何重数和代数重数不相等，它只能进行若当标准化。对角化：若A是单纯矩阵，则存在满秩的T使得ATT1，其中为对角矩阵。的主对角线上元素为A的各个特征值，T的各列为A相应的特征值对应的特征向量。4.正规矩阵：方阵A的共轭转置HA满足HHAAAA，则A是正规矩阵。正规矩阵都可以对角化。5.酉矩阵：方阵A的共轭转置HA满足EAAAAHH单位阵，则A是酉矩阵。酉矩阵是正规矩阵。5.1.酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。5.2.A是酉矩阵的充分必要条件是：它的n个列（行）向量是两两正交的单位向量。5.3.在进行坐标变换时，如果变换前后的坐标系都是正交坐标系，那么坐标变换矩阵一定是酉矩阵。二、常用的坐标变换分析1.ABC坐标系到0--坐标系的变换矩阵通常我们会看到变换的形式为：CBAXXXCXXX330，这里X可能代表电流I或电压U或磁链其他内容，33C的定义通常如下式所示：）（122222223-230212113233C由5.2容易验证33C是一个酉矩阵，酉矩阵的逆等于其共轭转置，这里33C为实矩阵，所以其逆阵等于其转置。即有：2223-21222321220132T331-33CC显然33C和133C组成了一对可逆变换，保证了坐标变换后的值保持不变，这是一切变换的基础。当然如果不是“同一变量（例如i）变换之后（同一个i）又进行反变换（例如APF的谐波提取就是如此）”，在实际编程过程中出于计算的考虑可以不采用可逆变换，即变换矩阵前的系数可以修改。注意：有人会认为ABC轴在一个平面上，互成120°，其实这是错误的。有变换矩阵（1）可以知道，A轴单位长度的向量在0--上的投影分别为032、和31，也就是说A轴在0-平面上，而且可以验证A、B、C构成了右手坐标系。2.从ABC坐标系到-坐标系的变换矩阵在三相对称系统中因为A、B、C三个分量的和为0，所以0--变换的0轴分量一直为0。于是，在坐标变换中不再考虑0轴，将0--坐标系退化为-坐标系，就成了常见的32C变换矩阵。矩阵表达式为：CBAXXXCXX32其中32C的表达式通常如下文定义方式：232302121132kC上式中的k通常有两种取值：取3/2k对应于恒功率变换；取3/2k对应于恒幅值变换。32C相应的逆阵23C为：23-21-2321-0123kC23C表达式中k满足32kk，即：取3/2k恒功率变换时，3/2k；取3/2k恒幅值变换时，1k。下式给出了恒功率变换的32C的具体表达式。）（223230212113232C需要注意3223CC不等于单位矩阵，而是等于单位矩阵加若干倍的全一矩阵。该矩阵是一个对称循环矩阵的一个特例，它有一个0特征值和（n-1）重1特征值。这说明了3223CC的变换在一个（n-1）空间上是一个恒等变换，而在该空间的一维补空间上映射恒为0。更直观的解释就是，该映射是一个投影映射，将n维空间的向量投影到n-1维的平面上。例如：我们将（1,2,3）沿着z轴投影到x-y平面上，就变成（1,2,0）。3223CC就是这样的映射，其投影方向为（1,1,1）。若向量TTxxxCCyyy3213223321，那么Tyyy321是Txxx321对应的零和向量（三项和变为0，对应项差保持不变）。注：3231-31-31-3231-31-31-323223CC，3321321321xxxxxxxxxxyyy，式中：3.从-坐标系到qd-坐标系的变换矩阵xxCxxqd22，qdxxCxx1-22因为旋转坐标变换恰恰是两个直角坐标系之间的变换，所以其实质上就是一种酉变换：）（3cossinsincos22ttttC通常取22C具有式（3）形式，显然是酉矩阵，所以ttttCCTcossinsincos22122。式（3）中定义的qd-坐标系是-坐标系逆时针旋转t角度的直角坐标系，见图1的（a）。下面介绍另外一种坐标变换，不同的是q轴定义和上一种定义方式正好相反（q轴在d轴顺时钟旋转90°的位置），见图1的（b）。OidqtOidqtb.坐标轴位置关系a.坐标轴位置关系图1.不同变换矩阵的坐标轴位置关系图1中（b）对应的坐标变换见下式（4），显然（4）中的22C也是酉矩阵。）（4cos-sinsincos22ttttC式（4）坐标变换的逆阵为ttttCCTcos-sinsincos22122式（3）和式（4）都是酉矩阵，但是变换后的坐标系关系却不相同。为什么会有这样的结果呢？因为实酉矩阵的行列式是正负1，式（3）中的122C，所以qd-坐标系保持了-坐标系的相位关系，式（4）中122C，所以相位关系变化了。如果正交右手直角坐标系zyx经过一个133C的酉变换，那么结果还是一个正交右手直角坐标系，如果经过一个1-33C的酉变换，那么结果将是一个正交左手直角坐标系。从-坐标系到qd-坐标系可能还会见到许多不同的表达形式，但是归根结底只有以上两种。所不同的只是角度变化了。例如：ttttCsin-coscossin22只是相当于式（4）将t换为（t-2），无需累述。三、多端口网络的功率定理：对于多端口网络消耗的功率等于各个端口电压（相对于任意固定参考电位）组成的电压向量对应的零和向量和流入各端口的电流值组成的电流向量的内积。我们定义将一个向量编程其对应的零和向量的变换矩阵为零和变换矩阵。那么n阶零和变换矩阵M有以下统一的表达式：nnnnInEM1(式中E为单位阵，I为全一阵)此处，不再证明以上定理，仅以例子说明其含义。例如：蓄电池24V接一个负载，电流为1A。以蓄电池负为参考点有电压向量为：024V，电流向量为：11I。先求V的零和向量V：121221212121VV显然，24)1,1()12,12(IVP。和双端口网络结论对照是正确的。