反比例函数

反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：函数y（k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy=k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的图象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的图象是，它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：双曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线两垂线与坐标轴围成的矩形面积为，即如图：S矩形ABOC=S△AOB=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的考点一：反比例函数的图象和性质例1若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx在同一坐标系数中的大致图象是（）A．B．C．D．例2对于反比例函数y=3x，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，-3）B．图象在第二、四象限C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小对应训练1．正比例函数y=kx和反比例函数21kyx（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．反比例函数y=mx的图象如图所示，以下结论：①常数m＜-1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（-1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点二：反比例函数解析式的确定例4如果反比例函数1kyx的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2B．-2C．-3D．3对应训练4．已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yxB．1yxC．2yxD．2yx考点三：反比例函数k的几何意义利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|例1如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．（3）如图，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．例2（1）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积.例4如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于.考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大对应训练6．一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1D．-2＜x＜11．（2015•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数kyx的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）A．y=4xB．y=2xC．y=1xD．y=12x一、选择题1．（2015•沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数y=x-1与函数y=1x的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2015•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x-1和2kyx的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2015•衢州）若函数y=2mx的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜-2B．m＜0C．m＞-2D．m＞04．（2015•兰州）当x＞0时，函数y=-5x的图象在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限4．（2015•牡丹江）如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）A．y=12xB．y=1xC．y=2xD．y=14x5．（2015•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最小的是（）A．B．C．D．二、填空题15．（2015•厦门）已知反比例函数y=1mx的图象的一支位于第一象限，则常数m的取值范围是．16．（2015•黄冈）已知反比例函数y=6x在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB=．17．（2015•营口）已知双曲线y=3x和y=kx的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作AB∥x轴分别交两个图象于点A、B．若CB=2CA，则k=．15．（2015•张家界）如图，直线x=2与反比例函数y=2x和y=-1x的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．一、巩固练习：（1）选择题1、反比例函数xky的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（）D(A)2(B)-2(C)4(D)-4CBA(第7题图)O2、（四川绵阳）若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数xy2图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（）DA．b1＜b2B．b1=b2C．b1＞b2D．大小不确定3、（福建龙岩）函数yxm与(0)mymx在同一坐标系内的图象可以是（）B（2）填空题4、（湖北潜江）如图，反比例函数xy5的图象与直线)0(kkxy相交于B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.10（3）解答题5、如图所示，反比例函数ykx的图象经过点Ab3，，过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为3。（1）求k和b的值；（2）若一次函数yax1的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为3，bxyOA．xyOB．xyOC．xyOD．∴·即·∴又∵点在双曲线上∴△SABBObbAykxkAOB123123322323||()（2）∵点A在直线yax1上∴231a∴a33∴yx331当y=0时，x3所以M点的坐标为30，∴：：ABOM23点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一直线L经过点C（1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分．（1）求直线L的函数解析式；（2）若直线L将△AOB的面积分成1：3两部分，求直线L的函数解析式．二、拓展训练已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0x3(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（由四边形OADM的面积为6得3+6+3=3t解得t=4故点M为（D点为（3，4）从而M点为BD中点，BM=DM评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结当堂过手训练（快练5分钟，稳准建奇功）1、已知正比例函数ykx与反比例函数yx3的图象都过Am()，1，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。分析：由A点坐标满足yx3可求得m值，再将A点坐标代入ykx可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。解：因yx3图象过Am()，1，即13m，故m3，即A（3，1）将A（3，1）代入ykx，得k13所以正比例函数解析式为yx13联立方程组得yxyxxyxy31331311122，解得或∴另一交点坐标为（31，）点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。2、如图所示，反比例函数yx8与一次函数yx2的图象交于A、B两点。（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。