反比例函数对称性研究

反比例函数对称性研究万安中学侯来合2011/11/1反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。【反比例函数中心对称性研究】中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O成中心对称，点O叫做对称中心。在平面直角坐标系中，任意一点M（a,b）关于原点的中心对称点坐标为N（-a,-b）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上任意一点M（a,b），那么它关于原点的中心对称点坐标为N（-a,-b）也一定在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上，由中心对称定义可知，反比例函数y=xk(k≠0)的图象双曲线关于点O成中心对称，对称中心是坐标原点o,【例1】已知反比例函数y=xk(k﹥0)的图象与y=mx和y=nx相交与ABCD四点，那么四边形ABCD是（）A梯形B平行四边形C矩形D正方形分析：因为反比例函数y=xk(k﹥0)，y=mx，y=nx均关于点O成中心对称，所以交点A与C，B与D，关于点O成中心对称，所以AO=OCOB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形故选（B）【例2】已知：反比例函数y=xk1与直线y=k2x相交与A（-1，m）B(n,3)求：(1)mn(2)反比例函数和正比例函数的解析式解：∵y=xk1与y=k2x均关于原点O中心对称∴A关于原点O中心对称与B∴m=-3n=1∴mn=-3∴A(-1,-3)∴-3=11k-3=k2x(-1)∴k1=k2=3∴两函数的解析式为y=x3和y=3x【反比例函数轴对称性研究】现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。在平面直角坐标系中，任意一点M（a,b）关于y=x的对称点坐标为N(b,a)关于y=-x的对称点坐标为H(-b,-a)证明如下：如图，连接OMON并过M做MP⊥Y轴MQ⊥X轴在⊿OPM和⊿OQN中OP=OQ=bPM=NQ=a∠MPO=∠NQO=900∴⊿OPM≌⊿OQN∴OM=ON∠MOP=∠NOQ又因为Y=X平分∠XOY所以∠XOR=∠YOR=45度所以∠MOR=∠NOR由等腰三角形三线合一性质可知直线y=x垂直平分MN所以点M点N关于直线y=x对称同理可证M与S关于直线Y=-X对称在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上任意一点M（a,b），那么它关于y=x对称点坐标为N（b,a）也一定在反比例函数y=xk(k≠0)的图象上，由轴对称定义可知，反比例函数y=xk(k≠0)的图象双曲线关于y=X轴对称，同理可证反比例函数y=xk(k≠0)的图象双曲线关于y=-X轴对称，【拓展训练】如图，直线y=-x+b与反比例函数y=xk(k≠0)相交与M（m,3）N(n,-1)，直线y=-x+b与Y轴,X轴相交与AB两点，点C（b,b）在第一象限（1）直接写出m和n的值（2）求直线y=-x+b与反比例函数y=xk的解析式（3）求⊿MON的面积（4）直接写出x为何值时反比例函数值大于一次函数值（5）四边形OACB是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形