反比例系数K的几何意义的探究与应用

1/3反比例系数K的几何意义的探究与应用大家知道，根据反比例函数的意义可知：两个变量x与y的乘积是一个常数k(k≠0).因而过双曲线上任意一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形PQRO的面积（如图甲）为：OR·PR=|x|·y=|xy|=|k|，进一步可得到Rt△PRO的面积为21|k|.由此我们可得出比例系数|k|的几何意义为：过双曲线上任意一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积.灵活运用此性质可以帮助我们快速简捷解决与反比例函数的图像和面积有关的许多问题.例1如图1，已知双曲线xky(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝______________。分析：由反比例函数比例系数k的几何意义，结合图3可知：△OCE、△OAF的面积均为21k，若设F点的纵坐标为b,则点F的横坐标为bk故点B的坐标为（bk，2b）（因为F是AB的中点），所以矩形OABC的面积为bk×2b=2k，根据四边形OEBF的面积为2，可得2k-21k-21k=2，所以k=2.例2如图2，在y=x1(x0)的图像上有三点A，B，P，过这三点分别向x轴引垂线，交x轴于C、D、E，连接OA，OB，OP，记△OAC，△OBD，△OPE的面积分别为S1，S2，S3则有().A、S1=S2=S3B、S1S2S3C、S1S2S3D、S2S1S3分析：由反比例函数比例系数k的几何意义，结合图2可得，S1=S2=S3=21|k|=21，故选A.例3正比例函数y=x与反比例函数y=x1的图像相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，CD垂直x轴于D(如图3)，则四边形ABCD的面积为().xyP图甲QROAxyBOCD图2PEABCEOFxy图12/3A、1B、23C、2D、25分析：因为双曲线是关于原点成中心对称的图形，因而OA=OC，OB=OD，故四边形ABCD是平行四边形，所以ABCDS四边形=4OABS，由反比例函数比例系数k的几何意义，可知OABS=21|k|=21×1=21，所以ABCDS四边形=4OABS=4×21=2，故选C.例4两个反比例函数kyx和1yx在第一象限内的图像如图所示，点P在kyx的图像上，PC⊥x轴于点C，交1yx的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交1yx的图像于点B，当点P在kyx的图像上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是①②④（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．分析：观察图像点A、B均在反比例函数1yx的图像上，由比例系数k的几何意义可知①Rt△BDO的面积=Rt△ACO的面积=21|k|.=0.5；②当点P在kyx的图像上运动时，四边形PCOD面积始终为k，而Rt△BDO的面积与Rt△ACO的面积也保持0.5不变，因此四边形PAOB的面积=四边形PCOD面积－Rt△BDO的面积－Rt△ACO的面积=k－1保持不变.④连接OP，则kSSPOCPDO21，当点A是PC的中点时，则POCAOCSS21∴BODS=PDOS21，由三角形面积公式易得BD=21PD，即点B一定是PD的中点，故其中一定正确的是①②④.（事实图kyx1yx图3ABCDOxy3/3上结论③我们可以通过画图容易发现是不正确的，见红线）例5如图4，已知A、B两点是反比例函数y=x2（xO）的图像上任意两点，过A、B两点分别作y轴垂线，垂足分别为C、D.连结AB、AO、BO．试探究：梯形ABDC的面积与△ABO的面积有怎样的关系？分析：本题侧重考查面积“割补”与“转化”的思维策略.设AO、BD相交于E，由图可以发现梯形ABCD与△ABO重叠部分为△ABE，故比较梯形ABDC与△ABO的面积关系，就是比较梯形AEDC与△OBE的面积关系．又△BOD与△AOC的重叠部分为△ODE．因而只需探索△BOD与△AOC的面积之间关系即可.由由反比例函数比例系数k的几何意义，可知S△BOD=S△AOC=21|k|=21×2=1,所以△OBE的面积与四边形AEDC的面积相等，所以梯形ABDC的面积与△ABO的面积相等.