反比例函数观后(第8期简报)

反思信息技术在函数教学中的应用——教学录像《反比例函数图象与性质》观后随感王鹏远最近看了两节教学录像：河南辉县马守玲老师与福建泉州黄志平老师的《反比例函数的图象与性质》，这两节课都有不少亮点，其中给人印象突出的是信息技术在函数教学中的运用。以下就这个问题谈些看法，与老师们讨论交流。一、信息技术的切入点《课程标准（2011年版）》指出：“数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术。”要注重实效“。怎么做到这一点呢？一是要清楚教学内容中哪些是传统教学的难点，二是要了解信息技术在解决这些教学难点时有哪些潜在的优势，换句话说，也就是说要找准信息技术的切入点。从以上两节课看，两位教师在这方面都做了很有意义的尝试，使反比例函数图象与性质的教学较之传统的教法跨出了一大步。什么是这段教学的难点呢？一是对反比例函数图象的认识。与一次函数、正比例函数的图象不同，一次函数、正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是在原点断开的两支双曲线，这两支双曲线向左向右无限地靠近x轴，向上向下无限地靠近y轴（即以这两条坐标轴为渐近线）。在传统教学中，我们只能让学生凭借想象认识这一点，在马老师的课上，借助计算机让学生直观地感受到双曲线向上与y轴越来越靠近（见教学录像）。这种效果是用传统手段无法实现的，尽管还无法表现“无限制”地靠近，但学生从教师动态地展示“越来越靠近”容易想象出双曲线的整体形象。另外，传统的教学只能在黑板上呈现某些具体的反比例函数图象，但是在马老师和黄老师的课上通过给k赋值或通过鼠标拖动呈现出一般的反比例函数y𝑘𝑥的图象，生动体现出k对反比例函数图象的影响。还有一个问题是怎么认识反比例函数的增减性？在传统教学中，我们对着静图告诉学生当x增大时y如何变化，并指出这体现了“数形结合”的数学思想，但细一想学生在静图中并没有看到x的增大和y的变化，同时只看到了“形”却没有看到“数”，谈不上两者的结合，所以对于“数形结合”的数学思想难以有深刻的理解。黄老师和马老师在讲解这一内容时用鼠标拖动P点运动（见上图），让学生观察该点坐标的变化。这一来，反比例函数的性质生动地展现在学生面前。二、如何更好启发学生的数学思考—从两位老师课堂上的两个问题谈起黄老师的课上有如下一个场景（见下图），教师问：你能从反比例的解析式解释k对双曲线位置的影响吗？教师提出的这个问题是很有思考价值的—他在引导学生透过现象探究本质。接下来学生给出的回答也很精彩，这个小女孩从解析式进行分析：如果K0，x、y的乘积是个正数，x、y必同为正或同为负，如果K0，x、y的乘积是负数，x、y必异号，一个为正另外一个为负。由此很好地解释了k的符号对双曲线位置的影响。现在一般课堂上是画了许多具体的反比例函数图象之后才得出K0双曲线的两支分别位于第一、三象限，K0双曲线的两支分别位于第二、四象限，用的方法是归纳的办法。在这节课上这个学生用演绎推理的方法对此进行了很好的说明，显然她的数学思考更为深刻。其实，在学习正比例函数的图象和性质时，我们完全可以提出类似的问题让学生思考，这样在学习反比例函数的图象时，学生就有能力在列表、描点、画图之前“想”出图象的大致位置，即节约了教学时间，又更充分地揭示了数学本质。这样处理教材可以充分利用学生探究正比例函数的数学活动经验，参与到更有数学价值的思维活动中去。我们注意到马老师课上的另一个场景,教师对照大屏幕给出的表格问：“x能不能取0？”学生回答分母为0时分式无意义所以不能取0，此后教师请一位学生到讲台前填表、描点、连线（见下图）。这里教师提出的问题恰好是学习反比例函数的难点：函数图象在这点“断开”了，这是与正比例函数图象截然不同的！实际上我们不仅需要关注x不能取0，还要关注在这个“间断点”附近的情况以及x足够大和x足够小的情况。换句话说，我们在画图前更应该关注“全局”，而不是仅把眼睛盯在某一点或几个点上。在列表时一个重要的问题在于取哪些值、取多少值，画函数图象理论上应该选取所有的点，但这办不到，所以我们只好取一些既有代表性又便于计算的点，对于正比例函数和一次函数因为其图象是直线，这个问题并不突出，自变量习惯地取整数值就可以了！对于反比例函数图象则不然，问题一下子变复杂了，怎么取一些点描出的图象能够反映出反比例函数图象“双曲线”的整体特征呢？课本的编写者可能为此特意选择了函数𝑦6𝑥而不选择𝑦1𝑥，如果选择后者，按以往学生的画图经验可能把图象画成下面的样子，不如选择函数𝑦6𝑥好。由此看来，在列表、描点、连线画图之前从函数的解析式对图象的全局结构做一些分析是有好处的。为说明这个问题请看例子：画出函数101022xxy的图象。下面是函数101022xxy的两幅图，第一幅图从-3画到3，第二幅图从-13画到16，这两幅图给人的感觉是不一样的。我们自然想到：能不能根据解析式的特点在画图前猜想出图象的整体结构，从而决定如何列表描点呢？下面一个例子更能说明问题：画函数4001002xxy的图象列表如下，x-4-3-2-101234y4164004093004042004011000401100404200409300416400描点画图，由此得到了左下图（这里取了9个点），而右下图取的点更多，这两个图呈现的似乎是一条直线再看下图，这里从-100画到100，看得出来这个图象向左、右无限制地“靠近“x轴，而上面两幅图仅是它的一个小的局部！如果由上面的图就得出这个函数的图象是一直线的结论就犯了“瞎子摸象”式的错误。可见，在画图象之前对解析式进行一些分析是必要的，在对函数图象的全局结构有了一些认识之后，我们的工作会很大限度地避免盲目性。话说回来，在马老师的这节课上怎么提问效果更好呢？我们是否可以问：对于函数𝑦6𝑥自变量可以取那些值？启发学生回答：自变量可以取除0以外的任意实数。接下来可以让学生由此猜想函数图象大致有怎样的特征。（向左右无限伸展，在原点处断开）再接下来可以让学生猜想在原点附近图象有什么特征？设想当自变量很大时函数值又怎样，继而猜想图象有什么特征？必要时让学生自己取几个值计算一下（如x=0.5，x=0.2，x=0.1，x=0.01）.这样处理可以使学生把眼光引向对函数图象全局的关注，投入更积极的数学思考。三、对传统函数教学“三部曲”的反思上面提到的建议可能涉及对现行的函数教学教法做较大的改动，所以需要对传统函数教学“三部曲”进行反思。现行课本无论对于正比例函数、一次函数、反比例函数、甚至高中的指数函数、对数函数的教学，无一例外的都采取“列表、描点、连线”三部曲的方式画函数图象，然后借助图象研究函数的性质。我们在上面已经指出这种方法的不足之处。其实画函数图象的难点在于手工计算函数值繁琐且乏味，所以自变量通常取便于计算的若干整数值好了，但手工计算不单耗时而且分散了我们的全局的关注。现在计算机使得情况大大改观，计算变得容易多了，于是我们就有条件从繁复的技术性操作中腾出手来对函数解析式进行更多的理性思考。例如用计算器，我们可以不限于取整数值，还可以多取一些值，取的值多了，描的点自然更加稠密，图象也就更接近于真实。不仅如此，技术的进步给画图提供了更多的便利，例如列表，用超级画板的“方便面”可以考察函数𝑦6𝑥在（0,1）之间的取值。右图中第一个表选取了10对值，第二个表选取了20对值，清楚显示出当自变量取很小的值时，对应的函数值很大。其操作异常简单：只不过在“方便面”的程序工作区键入Hsb1(6/x,0,1,10);及Hsb1(6/x,0,1,20)（函数表的拼音）；然后按住Ctrl+回车，屏幕上就得到了右面的表；如果想让列表、描点、连线一气呵成，可键入（函数表的拼音）Hsb(6/x,-4,4,20)；然后按住Ctrl+回车，屏幕便出现了从-4到4之间取20个点的表格、这20个点、以及动画按钮，选择动画按钮，屏幕将呈现将这些点连线生成图象的效果。对反比例函数列表还比较容易，三角函数的列表求值就复杂多了，我们可以利用上述命令。例如键入hsb(sin(x),0,2*pi,12);然后按住Ctrl+回车，屏幕上就得到了下面的表和对应的点，选择动画按钮屏幕自动生成图象。看来，原来那些乏味枯燥的“活儿”计算机都可以代替我们做了!我们当然不是完全否定“三部曲”，学生初学正比例函数和一次函数，通过列表、描点、连线可以经历函数图象的生成过程，“三部曲”是不可省略的。但在后续的学习中似乎无需在这上面花那么大的气力。比如对于二次函数𝑦x2。这是由“平方”运算定义的函数，由定义可知函数的定义域是全体实数，值域是非负实数，于是得知函数图象的位置在第一、二象限，同时图象关于y轴对称；对比函数𝑦𝑥，容易知道x1时，x2x；0x1时，0x2𝑥。这样就不难知道二次函数𝑦x2图象的大致形状。对于反比例函数𝑦1x可以借助“倒数”运算的性质与函数𝑦𝑥对比进行类似的讨论。对于函数增减性的研究，我们过去一直根据观察图象的走势指出其增减性，正如前面指出的：我们观察到的图象知识一个局部，所以从“局部想整体”只能算做一个猜想。能不能在更大范围内从数值的变化考查函数的增减性呢？利用计算机的计算功能完全可以做到这一点。下面介绍如何利用超级画板中测量的下拉菜单中的测量表达式考查二次函数、指数函数增减性。1.在测量表达式弹出的对话框表达式一栏键入“x”、“x^2”和“2^x”，选择“确定”得到x=-3时二次函数与指数函数的函数值；2.调出变量尺，可以把变量尺的滑钮范围调到你需要的范围后选择“确定”；3.拖动变量尺中的的滑钮，观察函数值的变化。通过函数值的变化生动地说明了二次函数与指数函数的增减性（我们当然还可以扩大自变量的变范围），而通过观察图像是做不到这一点的。但说明还不是证明，直观不能代替逻辑，对于一次函数、反比例函数、二次函数的增减性下面的的证明学生未必看不懂。证明函数2xy在)0,(上是减函数证：在)0,(上任意取两个值1x和2x且21xx，则211)(xxf，222)(xxf))(()()(2121222121xxxxxxxfxf∵21xx∴021xx，而1x2x0,∴021xx,0))(()()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf所以函数2xy在)0,(上是减函数与上述证明相比，对反比例函数xky增减性的证明并不困难，这里就不再重复了。结语：数学课程标准（2011年版）的课程基本理念第5条有以下一段话：“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。”究竟产生了什么影响呢？这的确值得我们深思。马老师和黄老师的两节课在反比例函数的教学中对此进行了有益的探索，又引发了本人上述一些思考。这些想法对不对呢？权当一次教研组会的发言吧，仅供大家参考，并希望与老师们交流。最后感谢马老师和黄老师给我们提供的教学录像作为我们此次教研活动的素材。