反证法证明多项式不可约

反证法证明多项式不可约在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．例1已知)(xp是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式)(xf和)(xg，由)()(|)(xgxfxp可以推出)(|)(xfxp或)(|)(xgxp，则)(xp是不可约多项式．证明假设)(xp可约，则必存在次数小于))((xp的多项式)(xf与)(xg，使得)()()(xgxfxp，即)()(|)(xgxfxp，又由已知条件，知)(|)(xfxp，)(|)(xgxp，但))(())((xpxf，))(())((xpxg，所以不可能实现，从而)(xp必不为可约多项式．例2次数大于1的整系数多项式)(xf对于任意整数的函数值都是素数，则)(xf为有理数域Q上的不可约多项式．证明假设)(xf不是有理数域Q上的不可约多项式，因为1))((xf，所以)(xf在整数环Z上也可约，即有整系数多项式)(1xf与)(2xf，使得)()()(21xfxfxf，其中))(())((xfxfi，2,1i．由已知条件知，若a为一个整数，则)(af为素数，即)()()(21afafaf为素数，所以1)(1af或1)(2af，再由a的无限性，知1)(1af，1)(1af或1)(2af，1)(2af四个式子中至少有一个式子对无限个a成立，即)(1xf与)(2xf中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．例3设011)(axaxaxfnnnn是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得（1）nap|；（2）021,,,|aaapnn；（3）02|ap，那么()fx在有理数域上是不可约的．证明假设)(xf在有理数域上可约，那么)(xf可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即))(()(011011cxcxcbxbxbxfmmmmllll),,(nmlnmnl，因此mlncba，000cba．因为0|ap，所以p能整除0b或0c．又因为02|ap，所以p不能同时整除0b及0c，因此不妨假定0|bp，但0|cp．另一方面，因为nap|，所以lbp|．假设在lbbb,,,10中第一个不能被p整除的是kb，比较)(xf中kx的系数，得等式kkkkcbcbcba0110，式中01,,,bbakk都能被p整除，所以0cbk也必能被p整除，但因p是一个素数，所以kb与0c中至少有一个被p整除，这是一个矛盾，故)(xf在有理数域上是不可约的．对于一些关于不可约多项式定理的逆定理，均可尝试用反证法来证明，在否定结论之后，利用已知条件推出了矛盾，从而使命题得证．