反馈控制理论

1第六章开关电源反馈设计除了磁元件设计以外，反馈网络设计也是开关电源了解最少、且非常麻烦的工作。它涉及到模拟电子技术、控制理论、测量和计算技术等相关问题。开关电源环路设计的目标是要在输入电压和负载变动范围内，达到要求的输出（电压或电流）精度，同时在任何情况下应稳定工作。当负载或输入电压突变时，快速响应和较小的过冲。同时能够抑制低频脉动分量和开关纹波等等。为了较好地了解反馈设计方法，首先复习模拟电路中频率特性、负反馈和运算放大器基本知识，然后以正激变换器为例，讨论反馈补偿设计基本方法。并介绍如何通过使用惠普网络分析仪HP3562A测试开环响应，再根据测试特性设计校正网络和验证设计结果。最后对仿真作相应介绍。6.1频率响应在电子电路中，不可避免存在电抗（电感和电容）元件，对于不同的频率，它们的阻抗随着频率变化而变化。经过它们的电信号不仅发生幅值的变化，而且还发生相位改变。我们把电路对不同频率正弦信号的输出与输入关系称为频率响应。6.1.1频率响应基本概念电路的输出与输入比称为传递函数或增益。传递函数与频率的关系－即频率响应可以用下式表示)()(ffGG其中G(f)表示为传递函数的模（幅值）与频率的关系，称为幅频响应；而∠(f)表示输出信号与输入信号的相位差与频率的关系，称为相频响应。典型的对数幅频响应如图6.1所示，图6.1(a)为幅频特性，它是画在以对数频率f为横坐标的单对数坐标上，纵轴增益用20logG(f)表示。图6.1(b)为相频特性，同样以对数频率f为横坐标的单对数坐标上，纵轴表示相角。两者一起称为波特图。在幅频特性上，有一个增益基本不变的频率区间，而当频率高于某一频率或低于某一频率，增益都会下降。当高频增高时，当达到增益比恒定部分低3dB时的频率我们称为上限频率，或上限截止频率fH，大于截止频率的区域称为高频区；在低频降低时，当达到增益比恒定部分低3dB时的频率我们称为下限频率，或下限截止频率fL，低于下限截止频率的区域称为低频区；在高频截止频率与低频截止频率之间称为中频区。在这个区域内增益基本不变。同时定义LHffBW（6-1）(dB)20log(G)6040BW20fLfH0100101102103104105f(a)90°0°100101102103104105f-90°(b)图6.1波特图2为系统的带宽。6.1.2基本电路的频率响应1.高频响应在高频区，影响系统（电路）的高频响应的电路如图6.2所示。以图6.2a为例，输出电压与输入电压之比随频率增高而下降，同时相位随之滞后。利用复变量s得到RsCsCRsCsUsUsGio11/1/1)()()(（6-2）对于实际频率，s=jω＝j2πf，并令RCfHπ21（6-3）就可以得到电路高频电压增益HioHffjUUG11（6-4）由此得到高频区增益的模（幅值）和相角与频率的关系2)(11)(HHfffG（6-5）对数幅频特性为2)(11log20log20)dB(HHffGG（6-5a）)arctan(HHff（6-6）幅频响应RLCRiUoUiUoU(a)(b)图6.2高频响应31)当ffH时，式（6-5a）01log20)(11log20)dB(2HHffGdB即增益为1,位于横坐标的一条水平线；2)当ffH时)log(20)(11log20)dB(2HHHffffG可见，对于对数频率坐标，上式为一斜线，斜率为－20dB/十倍频（－20dB/dec），与0dB直线在f=fH处相交，所以fH称为转折频率。当f=fH时，3)2/1log(20)dB(HGdB,即HG2/1＝0.707。高频响应以0dB直线与-20dB/dec为渐近线，在转折频率处相差最大为－3dB。幅频特性如图6.3a所示。当频率等于转折频率时，电容电抗正好等于电阻阻值。当频率继续增加时，电容C的阻抗以－20dB/dec减少，即频率增加10倍，容抗减少10倍，所以输出以－20dB衰减。相频特性相位与频率的关系（式（6.6））可以用以下方式作出：1）当ffH时，H→0°,得到一条H＝0°直线。2）当ffH时，H→90°,得到一条H＝90°直线。3）当f＝fH时，H＝45°。当f＝0.1fH和f＝10fH时,H分别为－5.7°和－84.3°,故可近似用斜率为dec/45斜线表示。相频特性如图6.3(b)所示。由幅频和相频可以看到，当频率增加时，电路增益越来越小，相位滞后越来越大。当相位达到90°时，增益为0。幅频和相频特性都由上限频率fH决定。从式（6.3）可以看到，上限截止频率由电路的时间常数（RC）决定。如果图6.2b的时间常数L/R与图6.2a的时间常数RC相等，则图6.2b电路的波特图与图6.2a完全相同。从图6.3可以看出，高频信号大大衰减，而低频信号得以保存。因此，这种电路也称为低通滤波器。对于图6.2a电路，如果时间常数对研究的时间来说大的多，即电阻和电容数值很大，我们有tUCRUcidd因为Uo=Uc，可以得到dtURCUio1（6-7）这是一个积分电路。可见，相同的电路对不同的研究目的表现出不同的功能。20logG(dB)10-210-11001011021030f/fH-20-40(a)φ10-210-11001011021030f/fH-45-90(b)图6.3图2电路的高频波特图42.低频特性我们来研究图6.4所示两个电路在低频区的特性。利用复变量s，由图6.4（a）可以得到sRCsCRRsUsUsGioL1111)()()(按照实际频率，js，并令RCfLπ21（6-8）得到)(11ffjUUGLioL（6-9）因此电路低频区的增益（模）和相角分别为2)(11)(fffGLL（6-10a）2)(11log20)dB(ffGLL(6-10b))arctan(ffL（16-11）采用与高频响应相似直线近似的方法，可以画出低频响应的波特图，如图6.5所示。图中fL为下限频率，即低频转折频率。在转折频率以下，电路增益随频率下降而下降，特性斜率为20dB/dec。相位随频率降低超前输入相位。最大超前90°,这时增益为0（－∞dB）。下限转折频率也与电路时间常数RC(L/R)有关,如果图6.4(a)与(b)时间常数相同，则它们的波特图也完全相同。从图6.5还可以看到，电路对低频信号衰减；而高频信号由于容抗减少而顺利通过。因此这种电路也称为高通滤波器。对于图6.4(a)电路的时间常数远远小于我们研究的时间间隔时，输出获得输入信号的变化部分，则tURCtURCRiUicodddd（6-12）电路表现为一个微分电路。CRUiRUoUiLUo(a)(b)图6.4低频响应20logG(dB)10-310-210-11001011020f/fL-20-40(a)904510-310-210-11001011020f/fL(b)图6.5图4电路的低频波特图53.LC滤波电路特性在开关电源中，正激类的输出滤波器（图6.6）是一个LC网络，并有负载电阻与输出电容并联，且负载电阻可以从某定值（满载）变化到无穷大（空载）。对于图6电路我们同样可以用复变量得到LLLioRsLCLssCRsLsCRsUsUsG211)1//()1//()()()(按照实际频率js，并令LCfπ210（6-13）得到)2()(1120LRfLjffG（6-14）LUICRLUo图6.6LC滤波电路频率特性6电路的特征阻抗为CLZ0，在f→f0很小范围内，20)(1ff02ff，令LRZRDLL0，于是增益幅频和相频特性分别为2202log10)dB(DffG（6-15）fDf2arctan0（6-16）由式（6-15）和（6-16）可以做出LC滤波电路的波特图，如图6.7所示。当ff0时，式（6-15）趋于1，即0dB，≈0°;当ff0时，式（6-14）分母中第二项远远大于其余两项，感抗以20dB/dec增加，容抗以-20dB/dec减少，负载阻抗远远大于容抗，幅频特性－40dB/dec下降，趋于-180°。在f接近f0时，不同的D值，幅值提升也不一样：D值越大，相当于轻载，电路欠阻尼，幅值提升幅度越高。随着负载加大，等效负载电阻减少，D值下降，提升峰值也减少；当D=1时，临界阻尼，由低频趋向f0时，只有很小的提升，并在f＝f0时，回到0dB，在ff0后，增益逐渐趋向-40dB/dec。而当D1时，即过阻尼，相当于满载或过载，在f→f0附近，幅值非但没有提升，而且随频率增加而衰减，大约在20倍f0以后衰减斜率达到-40dB/dec。图6.7（b）示出了相移与规化频率（f/fc）和不同D之间的关系。可以看到，不管D值如何,输出与输入之间的相位差在转折频率f0处均为90°。而对于高欠阻尼滤波器（Ro5Zo），相频特性随频率迅速改变。对于Ro=5Zo，在频率1.5f0时，相移几乎达到170°。而在增益斜率为-20dB/dec的电路中，决不可能产生大于90°相移，而相频特性随频率的变化率远低于图6.7b的-90°/dec的相移变化率。如果图6.6中输出电容具有ESR－等效串联电阻Resr，一般ESR很小,在低频段1/ωCResr,不会对低频特性产生影响。当频率增高到πLRfesresr2此时，LfResresrπ2，相位提升45°。当频率继续升高，输出滤波电路变成LResr电路。LC滤波器在频率fesr之后从-40dB/dec转换为-20dB/dec衰减，相移趋向滞后90°,而不是180°。这就是说，电容的ESR提供一个零点。6.1.3基本电路的时域响应dBD=10107302-1010.5-200.25-30-40dB/dec0.1-400.11.010f/fc(a)-40-80-90-100D=0.1200.25-140521-160-180f/fc(b)图6.7输出LC滤波器幅频(a)和相频(b)特性7电路分析方法分稳态分析和瞬态分析。前面以正弦波为基本信号分析了电路的幅值和相位的频率响应，是稳态响应。这种方法称为频域分析法。电路分析另一种方法是瞬态分析法。它是以阶跃信号为输入信号，研究电路输出随时间变化规律，称为阶跃响应。它是以波形的上升时间和平顶降落大小为评判标志。称为时域分析法。1.阶跃信号图6.8表示一个阶跃电压，可表示为0,0,0)(tUttu（6-17）可以看到，阶跃信号波形转换时变化率为无穷大，而在转换前和转换以后是一个不变化的常数。从频率分析的观点看，极快的变化率包含从直流到极高频率的谐波分量。电路输出能否重复输入信号的波形：输出的上升时间反映了电路的高频响应；而平顶降落反映了电路的低频响应。2.单时间常数的阶跃响应我们来研究图6.2电路的阶跃响应，重画于图6.8。阶跃响应由上升时间tr和平顶降落δ表示。上升时间tr当阶跃信号加在图6.8(a)电路输入端，根据RC电路一般规律有0/0)1)((UeUUUtc式中U0－初值；U∞－终值；τ＝RC－时间常数。电容初始电压U0为零，得到)1(ticoeUUU(6-18)式中τ＝L/R，Ui为阶跃信号平顶部分电压值。Uo/Ui与时间关系如图6.9所示。（RC电路三要素：初值、终值和时间常数。）输入在极短时间上升到终值，而输出电压随时间指数变化，要经过一段时间才达到终值，这种现象称为前沿失真。一般将输出终值的10%到终值的90%的时间间隔定义为上升时间tr。由式（6-18）可见，当t＝t1时1.01)(1tioeUtu，即9.01te同理得到t＝t2时1.02te因为91.09.0)(1221rttttteeee所以，上升时间为Uit=00RLCRiUoUiUoU(a)(b)图6.8阶跃响应uo/Ui