培优专题2_运用公式法进行因式分解(含答案)

-1-2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式ababab22()()完全平方公式aabbab2222()立方和、立方差公式ababaabb3322()()补充：欧拉公式：abcabcabcabcabbcca3332223()()12222()[()()()]abcabbcca特别地：（1）当abc0时，有abcabc3333（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把aabb2222分解因式的结果是（）A.()()()abab22B.()()abab2C.()()abab2D.()()abba2222分析：aabbaabbab22222222212111()()。再利用平方差公式进行分解，最后得到()()abab2，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。-2-2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232xxm有一个因式是21x，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。解：根据已知条件，设221322xxmxxaxb()()则222123232xxmxaxabxb()()由此可得21112023aabmb()()()由（1）得a1把a1代入（2），得b12把b12代入（3），得m123.在几何题中的应用。例：已知abc、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。分析：因为题中有abab22、、，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。解：abcabbcac22202222220222abcabbcac()()()aabbbbcccaca2222222220()()()abbcca2220()()()abbcca222000，，abbcca000，，abc-3-ABC为等边三角形。4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2123nn，（n为整数）则()()232122nn()()()()2321232124481nnnnnn由此可见，()()232122nn一定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：xxy324________。解：xxyxxyxxyxy32224422()()()说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2883223xyxyxy_________。解：288244322322xyxyxyxyxxyy()222xyxy()说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知：ambmcm121122123，，，求aabbaccbc222222的值。解：aabbaccbc222222-4-()()abcabc222()abc2ambmcm121122123，，原式()abc2()()()1211221231422mmmm说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.已知abcabc00333，，求证：abc5550证明：abcabcabcabcabbcca3332223()()把abcabc00333，代入上式，可得abc0，即a0或b0或c0若a0，则bc，abc5550若b0或c0，同理也有abc5550说明：利用补充公式确定abc，，的值，命题得证。例3.若xyxxyy3322279，，求xy22的值。解：xyxyxxyy332227()()且xxyy229)1(92322yxyxyx，-5-又xxyy2292()两式相减得xy0所以xy229说明：按常规需求出xy，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】1.分解因式：（1）()()aa23122（2）xxyxyx5222()()（3）axyaxyxy22342()()()2.已知：xx13，求xx441的值。-6-3.若abc，，是三角形的三条边，求证：abcbc222204.已知：210，求2001的值。5.已知abc，，是不全相等的实数，且abcabcabc03333，，试求（1）abc的值；（2）abcbcacab()()()111111的值。-7-【试题答案】1.（1）解：原式[()()][()()]aaaa231231()()4123aa()()4123aa说明：把aa231，看成整体，利用平方差公式分解。（2）解：原式xxyxxy5222()()xxyx2321()()xxyxxx22211()()()（3）解：原式()[()()]xyaaxyxy2222()()xyaxy222.解：()xxxx121222xxxx2222112327()()()xxxx222441491249，xx441473.分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明：abcbc2222abbccabcabcabc222222()()()()abc，，是三角形三边abc0且abc()()abcabc0即abcbc222204.解210-8-()()1102，即31032001366711()5.分析与解答：（1）由因式分解可知abcabcabc3333()()abcabbcca222故需考虑abcabbcca222值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：（1）abcabc3333abcabc33330又abcabc3333()()abcabcabbcca222()()abcabcabbcca2220而abcabbccaabbcca22222212[()()()]abc，，不全相等abcabbcca2220abc0（2）abc0原式1222abcabcbcacab[()()()]而abc0，即abc()原式1333abcbcbc[()]13abcbcbc[()]133abcabc()说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。