变化率与导数几何意义

第二章变化率与导数§2导数的概念及其几何意义1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.明目标、知重点填要点、记疑点1.函数f(x)在x＝x0处的导数2.曲线的切线3.导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺1.函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x0点的称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺2.曲线的切线如图，曲线y＝f(x)的一条割线AB，其中A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)).当Δx趋于零时，割线AB将，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线.绕点A转动最后趋于直线l明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.导数的几何意义函数的平均变化率的几何意义是曲线y＝f(x)割线的斜率；函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)表示.曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率探要点、究所然探究点一函数在一点处的导数探究点二导数的几何意义情境导学明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容.探究点一函数在一点处的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考1导数和平均变化率有什么关系？答导数就是平均变化率当Δx趋于0时的极限，记作f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.探究点一函数在一点处的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考3导数在实际问题中有什么意义？答导数可以刻画事物变化的快慢.探究点一函数在一点处的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例1蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T′(2)，并解释它的实际意义.解T′(2)＝limΔt→0T2＋Δt－T2Δt＝limΔt→01207＋Δt＋15－1207＋15Δt探究点一函数在一点处的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺＝limΔt→0－120·Δt77＋Δt·Δt＝－12049(℃/min).T′(2)＝－12049(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以12049℃/min的速度下降.探究点一函数在一点处的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢.探究点一函数在一点处的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练1已知正方形的面积S是边长x的函数S＝x2，计算S′(5)并说出S′(5)的意义.解S′(5)＝limΔx→0S5＋Δx－S5Δx＝limΔx→05＋Δx2－52Δx＝limΔx→010Δx＋Δx2Δx＝limΔx→0(10＋Δx)＝10.S′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加.探究点一函数在一点处的导数探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考1如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置.这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考3如何求曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0))，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考4求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与求过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺小结(1)导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)；(2)欲求曲线切线的斜率，先找切点P(x0，f(x0)).探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例2已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0x0＋Δx2－x20Δx探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋Δx2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程.解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0).解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练3若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝limΔx→0x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔxΔx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.探究点二导数的几何意义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得3x20＋3a＝3，x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1，解得a＝1－322，x0＝－342.∴a＝1－322.探究点二导数的几何意义当堂测、查疑缺1234123明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺41.函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0、h均无关B123明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺2.函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A.12B.6C.3D.24解析f′(1)＝limΔx→031＋Δx2－3×12Δx＝limΔx→03＋6Δx＋3Δx2－3Δx＝6.B123明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－14解析由题意，知k＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.A12明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺4.已知曲线f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.34解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02Δx2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).(3,30)明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.呈重点、现规律明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.呈重点、现规律谢谢观看更多精彩内容请登录：