变分原理在弹塑性力学中的应用

变分原理在弹塑性力学中的应用摘要：本文简单介绍了泛函的变分原理，并利用变分原理推导弹塑性力学中的虚位移原理和最小总势能原理，并举例说明最小总势能原理的应用。最后引入了对上述变分方程的直接解法—里茨法，并举例说明里茨法的应用。关键字：泛函，变分原理，虚位移原理，最小总势能原理，里茨法Abstract：Thispaperbrieflyintroducesthefunctionalvariationalprinciple,withthehelpofwhich,thevirtualdisplacementprincipleandtheminimumtotalpotentialenergyprinciplearededuced.Andtheapplicationoftheprincipleofminimumtotalpotentialenergyisillustrated.Finallythepaperintroducesthedirectsolutiontothevariationalequation—theRitzmethodandillustratestheapplicationoftheRitzmethod.Keyword：Functional，Thevariationalprinciple，Thevirtualdisplacementprinciple,theminimumtotalpotentialenergyprinciple,TheRitzmethod1泛函和变分原理求解弹塑性力学问题，即在给定的全部边界或内部的外界作用下，求解物体内产生的应力场和位移场，最终归结为求解偏微分方程的在某种边界条件下的问题，但是在求解这些偏微分方程的解是极其困难的。故引入变分原理[1]及其近似解法去求解弹塑性力学问题。把一个力学问题用变分法[1]化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题的变分原理。其中，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。所以简单来说，泛函是函数的函数。其中，在平面直角坐标系中，两点间的曲线长度就是典型的变分问题，即在连接两点间的所有曲线中，存在这样的曲线，使得两点间的连线长度最短。例如用数学公式去描述变分原理：假设有如下形式的泛函：V=∫𝐹(𝑥,𝑦,𝑦′)𝑑𝑥𝑏𝑎(1-1)其中，y(𝑥)是自变函数，𝑥是自变量。由于泛函取变分的取极值的必要条件是其一阶变分等于零，因此对上式(1-1)进行变分，并令δV=0，可得：δV=∫[𝜕𝐹𝜕𝑦𝛿𝑦+𝜕𝐹𝜕𝑦′(𝛿𝑦)′]𝑏𝑎𝑑𝑥(1-2)=∫(𝜕𝐹𝜕𝑦𝛿𝑦)𝑏𝑎𝑑𝑥+𝜕𝐹𝜕𝑦′(𝛿𝑦)/𝑎𝑏−∫[𝑑𝑑𝑥𝜕𝐹𝜕𝑦′(𝛿𝑦)]𝑏𝑎𝑑𝑥=∫(𝜕𝐹𝜕𝑦−𝑑𝑑𝑥𝜕𝐹𝜕𝑦′)𝑏𝑎𝛿𝑦𝑑𝑥+𝜕𝐹𝜕𝑦′(𝛿𝑦)/𝑎𝑏=0由于𝛿𝑦为独立变量,因此上式(1-2)为零的充要条件为：𝜕𝐹𝜕𝑦−𝑑𝑑𝑥𝜕𝐹𝜕𝑦′=0(在[a,b]上)(1-3)𝜕𝐹𝜕𝑦′=0(𝑥=𝑎,𝑏)(1-4)这样便将泛函的驻值问题转化成了微分方程的边值问题了。方程𝜕𝐹𝜕𝑦−𝑑𝑑𝑥𝜕𝐹𝜕𝑦′=0叫作泛函的欧拉方程。2虚位移原理和最小总势能原理在变分原理的基础上，就可以利用能量原理（即热力学第一定律）去建立虚位移原理[2]的位移变分方程了。现考虑一个受一组体力的𝐹𝑏𝑖（分量为𝐹𝑥，𝐹𝑦，𝐹𝑧）和面力𝑝𝑖（分量为𝑝𝑥，𝑝𝑦，𝑝𝑧）作用下而处于平衡状态的物体，其体积为V，表面积为S。则在体积内有：（用张量表示）𝜎ij,j+𝐹𝑏𝑖=0(i,j=x,y,z)(2-1)设S为物体的全部表面，其中给定面力的部分表面为𝑆𝜎，给定位移的部分表面为𝑆𝑢，则全部表面S应为𝑆𝜎和𝑆𝑢之和。则边界条件为：（用张量表示）𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗=𝑝𝑖(2-2)现在设想一个处于平衡状态的物体，由于某种原因，由其平衡状态位置得到一个约束许可的、任意的、微小虚位移𝛿𝑢𝑖，其分量为δu，δv，δω。虚位移𝛿𝑢𝑖不是其他随便一种位移函数，在边界处需满足边界位移条件，即𝛿𝑢𝑖/Su=0，也满足几何条件𝘀𝑖𝑗=12(𝛿𝑢𝑖,𝑗+𝛿𝑢𝑗,𝑖)。实际的力系在虚位移上做的功叫做虚功。根据以上假设，可得出在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体的微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。虚位移原理的推导表达式如下：外力的总虚功δW为实际的体力𝐹𝑏𝑖和面力𝑝𝑖在虚位移上所做的功，即δW=∭𝐹bi𝛿𝑢𝑖𝑑𝑉𝑣+∬𝑝𝑖𝛿𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑆(2-3)物体产生微小变形的过程中，该物体内的总虚应变能为：δU=∭𝜎𝑖𝑗𝑉𝛿𝘀𝑖𝑗𝑑𝑉(2-4)于是虚位移原理可表示为：∭𝜎𝑖𝑗𝑉𝛿𝘀𝑖𝑗𝑑𝑉=∭𝐹bi𝛿𝑢𝑖𝑑𝑉𝑣+∬𝑝𝑖𝛿𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑆(2-5)即δU=δW(2-6)其证明如下：根据在给定面力部分表面𝑆𝜎上，边界条件𝑝𝑖=𝜎𝑖𝑗𝑛𝑗成立，因而有：∬𝑝𝑖𝛿𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑠=∬(𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖)𝑛𝑗𝑆𝜎𝑑𝑆高斯散度定理⇒=∭𝜕(𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖)𝜕𝑥𝑗𝑉dV=∭(𝜎ij,j𝛿𝑢𝑖+𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗)𝑉𝑑𝑉(2-7)故有δW=∭𝐹bi𝛿𝑢𝑖𝑑𝑉𝑣+∬𝑝𝑖𝛿𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑠=∭𝐹bi𝛿𝑢𝑖𝑑𝑉𝑣+∭(𝜎ij,j𝛿𝑢𝑖+𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗)𝑉𝑑𝑉=∭(𝜎ij,j+𝐹bi)𝛿𝑢𝑖𝑑𝑉𝑉+∭𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗𝑑𝑉𝑉(2-8)当物体处于平衡状态时，因为𝜎ij,j+𝐹𝑏𝑖=0，所以上式(2-8)第一项积分等于零。故上式(2-8)可化为δW=∭𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗𝑑𝑉𝑉(2-9)而由𝘀𝑖𝑗=12(𝛿𝑢𝑖,𝑗+𝛿𝑢𝑗,𝑖)，𝜎𝑖𝑗=𝜎𝑗𝑖(2-10)𝜎𝑖𝑗𝛿𝘀𝑖𝑗=12𝜎𝑖𝑗(𝛿𝑢𝑖,𝑗+𝛿𝑢𝑗,𝑖)=12𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗+12𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑗,𝑖=12𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗+12𝜎𝑗𝑖𝛿𝑢𝑗,𝑖=𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗(2-11)所以有δU=∭𝜎𝑖𝑗𝑉𝛿𝘀𝑖𝑗𝑑𝑉=∭𝜎𝑖𝑗𝛿𝑢𝑖,𝑗𝑑𝑉𝑉(2-12)由此可证δW=δU由上述的推导和讨论证明：虚位移原理的变分方程等价于平衡方程和应力边界条件。针对上述应用中的变分原理，可看出𝛿𝑢𝑖可看作变量函数𝑢𝑖(𝑥𝑖)的变分，即𝑢𝑖(𝑥𝑖)与临域内任意容许函数之间的微小差别。可见，𝛿𝑢𝑖是指𝑢𝑖值得微小变化，而𝑑𝑢𝑖则是指其自变量的微小变化所引起的𝑢𝑖的微小变化。应用位移变分方程时，所取的解不必预先满足平衡方程和应力边界条件，只要求所给的虚位移δu，δv，δω只要满足变形协调条件和和位移边界条件即可。根据以上得出的虚位移原理可以推出最小总势能原理[2]。推导过程如下：𝑈0=12𝜎𝑖𝑗𝘀𝑖𝑗(2-13)在𝑈0中引入广义胡克定律：𝜎𝑖𝑗=𝐸1+𝜈𝘀𝑖𝑗−𝜈𝐸𝛿𝑖𝑗𝑒(1+𝜈)(1−2𝜈)(2-14)并用G,E,𝜈的表达式:G=𝐸2(1+𝜈)，E=𝜇(3𝜆+2𝜇)𝜆+𝜇，𝜈=𝜆2(1+𝜈)(2-15)消去E,𝜈，可得：U0=𝐺𝘀𝑖𝑗𝘀𝑖𝑗+12𝜆𝑒2=U0(𝘀𝑖𝑗)，其中𝑒=𝘀𝑖𝑖(2-16)将上式带入应变位移关系𝘀𝑖𝑗=12(𝛿𝑢𝑖,𝑗+𝛿𝑢𝑗,𝑖)，当存在应变能函数U0(𝑢𝑖)时，虚位移原理方程可写为：∫𝛿𝑈0𝑉(𝑢𝑖)𝑑𝑉−∫𝐹bi𝛿𝑢𝑖𝑑𝑉𝑉−∫𝑝𝑖𝛿𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑆=0(2-17)假定当物体从平衡位置有虚小位移时，物体的几何尺寸的变化忽略不计，原来作用在物体上的体力和面力，其大小和方向都保持不变，于是上式（2-17）的变分号可以移至积分号以外，令𝛿𝐸𝑡记作这个变分量，有：𝛿𝐸𝑡=δ[∫𝑈0𝑉(𝑢𝑖)𝑑𝑉−∫𝐹bi𝑢𝑖𝑑𝑉𝑉−∫𝑝𝑖𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑆]=0（2-18）于是有𝛿𝐸𝑡=δ(𝑈−𝑊)=0，其中，𝐸𝑡=∫[𝑈0(𝑢𝑖)−𝐹bi𝛿𝑢𝑖]𝑉𝑑𝑉−∫𝑝𝑖𝑢𝑖𝑆𝜎𝑑𝑆（2-19）上式（2-19）中，𝐸𝑡称为总势能，U成为弹性体的应变势能，W为外力做的功，即外力势能。当物体在不受外力作用的自然状态下，应变势能与外力势能均为零。上式（2-19）还说明，在给定外力的情况下，实际的位移应使总势能的一阶变分为零，即使总势能取得极小值。故在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，真实的位移场使物体的总势能取得最小值。下面用一个例题去说明最小总势能原理的应用[3]。设有受均布荷载集度为q作用的悬臂梁（图2-1），试用最小总势能原理（2-19）导出梁的挠曲线方程：yxlx图2-1q(x)w解：由𝛿𝐸𝑡=δ(𝑈−𝑊)=0于是有U=∫𝑈0𝑑𝑉=𝑉12𝐸∭𝜎𝑋2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧其中𝜎𝑥=𝑀𝑦𝐼,𝑀=−𝐸𝐼𝑑2𝜔𝑑𝑥2,𝐼=∬𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑦所以U=12∫𝐸𝐼(𝑑2𝜔𝑑𝑥2)2𝑙0𝑑𝑥,W=∫𝑞𝜔𝑑𝑥𝑙0根据𝛿𝐸𝑡=0变分量δω，注意到δω’=δ(𝑑𝜔𝑑𝑥)=𝑑(𝛿𝜔)𝑑𝑥=(𝛿𝜔)′(自变函数的微分、求导和变分运算的次序可以调换)δEI(𝜔)2=2EI𝜔(δω)=2EIω𝛿(𝜔)(泛函的变分与函数的微分计算方法相似）于是得到：𝛿𝐸𝑡=∫𝐸𝐼𝜔(δω)𝑙0𝑑𝑥−∫𝑞𝑙0δωdx(a)对上式(a)等号左边第一项积分利用两次分部积分得到：∫𝐸𝐼𝜔(δω)𝑙0𝑑𝑥=EI𝜔(δω)'/0𝑙−(EI𝜔)′δωdx/0𝑙+∫(𝐸𝐼𝜔)𝑙0δωdx(b)对于悬臂梁，边界条件有：δω𝑥=0=0,δω'𝑥=0=0(固定端的位移和转角为零）EI𝜔𝑥=𝑙=0,EI(𝜔)′𝑥=𝑙=0(自由端的弯矩和剪力为零)由边界条件，可得EI𝜔(δω)'/0𝑙=(EI𝜔)′δωdx/0𝑙=0(c)将此式(c)带入上式(b)，再代入(a)可得：∫[(𝐸𝐼𝜔)−𝑞]𝑙0δωdx=0(d)由δω的任意性，得(𝐸𝐼𝜔”)”−𝑞=0，此即悬臂梁在分布荷载下的挠度曲线方程。3里茨法前面介绍的变分问题的解决归结为微分方程的边值问题的求解，这是变分问题的古典解法，通过泛函极值条件—Euler方程，获得与泛函极值问题等价的微分方程的边值问题，求解微分方程的边值问题就得到了泛函的极值函数[4]，这种方法是一种间接解法。然而，求解偏微分方程的边值问题通常是非常困难的，一般无法求出解析解，特别是边界复杂的问题。下面建立一种求变分问题近似解的方法—Ritz法（里茨法）[5]，其基本思想就是利用多项式或三角多项式（称作试函数）近似代替所求的极值函数，便把变分问题化为普通函数的极值问题。这个试函数带有若干个待定系数，对所选择的试函数，使泛函取得极值，方法就是将其带入泛函中，然后使泛函对每个系数进行求导，并令所得方程等于零。如果有