变量与函数的概念.

第一课时变量与函数的概念理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章函数知识点一考点一考点二考点三知识点二考点四2.1函数2.1.1函数返回返回2.1.1函数返回返回返回返回返回某物体从高度为44.1m的空中自由落下，物体下落的距离s与所用时间t的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为s＝12gt2，其中g＝9.8m/s2.问题1：对于式子s＝12gt2，哪一个是自变量?哪一个是因变量？提示：t是自变量，s是因变量．返回问题2：时间t(0≤t≤3)确定后下落的距离s确定吗？提示：确定．问题3：对于一个时间t，下落的距离s是否唯一？提示：唯一．问题4：时间t和物体下落的距离s有何限制？提示：0≤t≤3，0≤s≤44.1.返回1．函数的定义设集合A是一个的数集，对A中的，按照确定的法则f，都有数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作．函数y＝f(x)也经常写作．非空任意数x唯一确定的y＝f(x)，x∈A函数f或函数f(x)返回2．函数的定义域与值域在函数y＝f(x)，x∈A中，叫做自变量，取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的，记作．所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域．自变量x函数值y＝f(a)或y|x＝a{y|y＝f(x)x∈A}返回返回名称定义符号数轴表示{x|a≤x≤b}{x|axb}{x|a≤xb}{x|ax≤b}1．区间定义及表示设a，b是两个实数，而且ab.闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间[a，b](a，b)[a，b)(a，b]返回2．无穷区间的表示定义R{x|x≥a}{x|xa}{x|x≤a}{x|xa}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)返回(1)函数定义的理解①A是非空数集，②法则f是确定的，③A中每一个x值都有唯一的y值与之对应．(2)函数符号y＝f(x)表示y是x的函数.符号“f”可以看做对x施加的某种法则(或运算).它可以是解析式，也可以是图象或表格．返回返回返回[例1]判断下列对应是否构成函数：(1)A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝N，B＝R，f：x→y＝±x.[思路点拨]判断一个对应是否是函数，要从以下两个方面着手：①A是非空数集；②A中任意一个数x按照确定的法则f，在B中都有唯一确定的数y与之对应．返回[精解详析]序号是否是函数原因分析(1)否A中元素0在B中无元素与之对应(2)是同时满足任意性和唯一性(3)否A中某些元素如－2在B中无元素与之对应(4)否A中某些元素如4在B中有两个元素与之对应返回[一点通]判断某一对应是否为函数的方法：判断从集合A到集合B的对应法则是否为函数，一定要以函数概念为准则．要注意对应法则对于A中元素是否有意义，同时要注意特殊值的分析．返回1．下列函数中，f(x)与g(x)相等的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x，g(x)＝x2C．f(x)＝x＋2，g(x)＝x2－4x－2D．f(x)＝|x|，g(x)＝x2返回解析：对于A，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不相同，所以不是相等函数；对于B，g(x)＝x2＝|x|，与f(x)＝x的对应关系不相同，所以不是相等函数；对于C，g(x)＝x2－4x－2＝x＋2(x≠2)，与f(x)＝x＋2的定义域不同，所以不是相等函数；对于D，g(x)＝x2＝|x|，与f(x)＝|x|的对应关系和定义域都相同，所以是相等函数．答案：D返回2．判断下列对应是否为函数：(1)x→2x，x≠0，x∈R；(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.返回解：(1)对于任意一个非零实数x，2x唯一确定，所以当x≠0时，x→2x是函数.这个函数也可以表示为f(x)＝2x(x≠0)．(2)当x＝4时，y＝±2，不是唯一的，所以x→y(y2＝x)不是函数.返回返回[例2]若f(x)＝1－x1＋x(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f[f(2)]．[思路点拨]将x分别赋值，代入函数解析式化简即可．[精解详析]f(0)＝1－01＋0＝1；f(1)＝1－11＋1＝0；f(1－a)＝1－1－a1＋1－a＝a2－a(a≠2);f[f(2)]＝1－f21＋f2＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.返回[一点通](1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)替换后进行计算即可；(2)求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．返回3．设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.解析：由题意知，f(a)＝41－a＝2，得a＝－1.答案：－1返回4．已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)，f(－2)，f(a＋1)．解：f(3)＝3×32－5×3＋2＝14；f(－2)＝3×(－2)2－5×(－2)＋2＝8＋52；f(a＋1)＝3(a＋1)2－5(a＋1)＋2＝3a2＋a.返回5．已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]，g[f(2)]的值．解：(1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6；(2)f[g(2)]＝f(6)＝11＋6＝17，g[f(2)]＝g(13)＝(13)2＋2＝199.返回返回[例3]求下列函数的定义域：(1)y＝x＋12x＋1－1－x；(2)y＝x＋1|x|－x.[思路点拨]返回[精解详析](1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0，即x≠－1，x≤1，所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．(2)要使函数有意义，需满足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x0.∴函数的定义域为{x|x0}．返回[一点通](1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；②分式中分母不能为0；③零次幂的底数不为0；返回④如果f(x)是由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题.注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示(这是与初中的不同之处)．返回6．函数f(x)＝x－2＋1x－3的定义域是()A．[2,3)B．(3，＋∞)C．[2,3)∪(3，＋∞)D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：要使函数有意义，需满足x－2≥0，x－3≠0，即x≥2且x≠3.答案：C返回7．求下列函数的定义域：(1)y＝2＋3x－2；(2)y＝3－x·x－1；(3)y＝(x－1)0＋2x＋1.返回解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当3－x≥0，x－1≥0.解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．返回(3)函数有意义，当且仅当x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0.解得x－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x－1，且x≠1}.返回返回[例4](12分)求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x＋1；(3)y＝1－x21＋x2；(4)y＝－x2－2x＋3(－1≤x≤2)．[思路点拨]求值域的方法很多：①利用解析式逐个求；②用直接法；③分离常数后，逐步求出；④利用二次函数求．返回[精解详析](1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1，算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.(3分)(2)∵x≥0，∴x＋1≥1，即函数的值域为[1，＋∞).(6分)(3)∵y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，(7分)∴函数的定义域为R.∵x2＋1≥1，∴021＋x2≤2.∴y∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1].(9分)返回(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.(10分)∵－1≤x≤2，∴0≤x＋1≤3，∴0≤(x＋1)2≤9.(11分)∴－5≤－(x＋1)2＋4≤4.∴函数的值域为[－5,4]．(12分)返回[一点通]求函数值域的方法及注意事项:求函数值域应首先确定定义域，由定义域及对应法则确定函数的值域．对一些简单的函数，可用观察法直接求解；对于二次函数，常用配方法求值域；对于分式类型的函数，可采用分离常数法求解；对于带根号的函数，常用换元法求值域，要注意换元前后变量的取值范围．返回8．函数y＝x2－1(x≥2)的值域是________．答案：[1，＋∞)返回9．求下列函数的值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；(2)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；(3)y＝1－x2，x∈R；(4)y＝2x＋1x，x≠0.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，∵f(－1)＝5，f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，∴这个函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R，∵(x－1)2＋1≥1，∴这个函数的值域为{y|y≥1}．返回(3)函数的定义域为R，∵1－x2≤1，∴函数y＝1－x2的值域为{y|y≤1}．(4)y＝2x＋1x＝2＋1x，∵x≠0，∴1x≠0，∴y＝2＋1x≠2，∴函数的值域为{y|y≠2}．返回(1)对函数相等的理解①函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．②定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数的对应关系不一定相同，如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．返回(2)区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合，如{x|ax≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式形式．返回