变量代换求解常微分方程

1题目：变量代换求解常微分方程院（系）：理学院专业：信息与计算科学学生：郝腾宇2摘要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解3目录一、变量代换法求解一阶微分方程……………………………………………………………3二、变量代换法求解二阶微分方程…………………………………………………………………6三、变量代换法求解三阶微分方程…………………………………………………………………7四、变量代换法求解n阶微分方程…………………………………………………………………7五、变量代换法求解Euler阶微分方程……………………………………………………………9六、变量代换法在研究解或轨线性态中的应用…………………………………………….10七、函数变换法求解常微分方程……………………………………………………………………11八、三角变换法求解常微分方程……………………………………………………………………13九、拉普拉斯变换求解常微分方程………………………………………………………………1441变量代换法求解一阶微分方程1）对于齐次微分方程yxdygdx，这里111222yxdaxbycdaxbyc是u的连续函数，做变量代换yux，使方程化为变量分离方程uxguuddx，可求解。2)对于准齐次微分方程111222yxdaxbycdaxbyc，这里1a，1b，1c，2a，2b，2c均为常数。①当111222=abckabc（常数）时，方程直接化为yxdkd，有通解：()ykxcc为常数②当111222abckabc时，做变量代换22uaxby，将方程化为变量分离方程1222uxdkucabduc由上式可求解。③当1122abab时，做变换XxYy，其中,为直线1110axbyc和直线2220axbyc在xoy平面的交点，将方程转化为齐次方程1122YXdaXbYYgdaXbYX由上式可求解。53）对于更一般的类型111222yxdaxbycdaxbyc，这里1a，1b，1c，2a，2b，2c均为常数①当111222=abckabc（常数）时，方程直接转化为()yxdfkd，有通解()yfkxc；②当111222abckabc时，做变量代换22uaby，将方程化为变量分离方程1222()dukucabfdxuc由上式可求解。③当1122abab时，作变换XxYy，其中（,）为直线1110axbyc和直线2220axbyc在xoy平面的交点，将方程化为齐次方程1122()dYaXbYYffgdXaXbYX由上式即可求解。4）对于方程()dyfaxbycdx，这里a，b，c均为常数，作变量代换uaxbyc，将方程化为变量分离方程()duabfudx由上式可求解。5）对于方程()()0yfmxydxxgnxydy，这里m，n，均为常数，作变量变换uxy，将方程化为变量分离方程6()()()duugnuufmudxxgnu由上式即可求解。6）对于方程1()adyxfxydx，这里为常数，作变量变换uxy，是方程化为变量分离方程()udufudxx由上式即可求解。7）对于方程(,)()(,)()0MxyxdxydyNxyxdyydx，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换yux，化为变量分离方程2()(1)(,)()(,)(,)dufuuMxyfudxxMxyuNxy由上式即可求解。8）对于Bernoulli方程()()ndyPxyQxydx，这里P(x)，Q(x)为连续函数，0,1n为常数。当0y时用ny乘以原方程两边得1()()nndyyyPxQxdx作变量代换1nzy使方程化为线性微分方程(1)()(1)()dznPxznQxdx，可求解。9）对于Riccati方程2()()()dyPxyQxyRxdx，当R(x)恒为零时，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8）中的变换求解；7当R(x)不为零时，若y（x）为Riccati方程的一特解，作变量代换()zyyx，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程2()(2()()())dzPxzPxyxQxzdx由上式即可求解。10）对于一阶非齐次线性微分方程()()dyPxyQxdx，若Q(x)=0，则方程变为一阶齐次线性微分方程()dyPxydx，有通解()Pxdxyce；若()0Qx对原方程作变量变换()()Pxdxycxe，求得待定函数()()()PxdxcxQxedxc，代会变换，即得方程的通解。2变量代换法求解二阶微分方程1)对于二阶变系数齐次微分方程22()()0dydypxqxydxdx（1）设10yy是方程（1）的一特解，变量变换1yytdx，将方程化为一阶线性微分方程'111[2()]0dtyypxytdx，可求解。2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程22()()()dydypxqxyfxdxdx（2）当方程（2）满足'13/2()2()()[()]qxpxqxcqx（1c为常数）时，作自变量代换2()tcqxdx（2c为常数）（3）则方程（3）可化为2'22()()()()()()2()dyaqxdycqxpxaqxqxyfxdtdtqx（4）8方程（4）两边乘除以2()cqx，得2'3/22222()2()()1()()2()dyqxpxqxdyfxydtdtccqxcqx（5）由于'13/2()2()()[()]qxpxqxcqx所以'13/222()2()()22()qxpxqxccccqx常数，又21c为常数，由此可知，方程（2）可化为二阶常系数线性微分方程2221()dydycygtdtdtc。3变量代换发求解三阶微分方程1）考虑三阶变系数齐次微分方程32654210320dydydyxaxaxaydxdxdx（6）当16a和26a时，可作变换1xt，则方程（6）可化为322122032(62)(6)0dydydyaaxaxaydxdtdt（7）将16a和26a代入（7）得到常系数齐次微分方程3030dyaydx2）考虑三阶变系数线性非齐次微分方程23'2'''2'332333()dyGdyGGdyaGbGaGcGyfxdxGdxGGdx（8）9其中()GGx，()fx都是x的已知连续函数，且()Gx二次可微，()0,,,Gxabc为常数。作自变量变换()tGxdx，则方程可化为32333332()dydydyGaGbGcGyfxdxdxdx（9）方程（9）两边同时除以3()Gx得到三阶常系数线性微分方程3232()dydydyabcygtdxdxdx4变量代换发求解n阶微分方程1）考虑n阶非齐次线性微分方程1111()()()()nnnnnndxdxdxatatatxftdtdtdt（10）设方程（10）对应的n阶齐次微分方程1111()()()0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt（11）通解为1122()()()nnxcxtcxtcxt（12）作变量变换，令1122()()()()()()nnxctxtctxtctxt（13）为（10）的通解。求出特定函数(),1,2,iiictvin，代入（13），即得（10）的通解。2）考虑常系数非齐次线性微分方程1111[]()nnknnmnndxdxdxLxaaaxpxedtdtdt（14）10这里12,,,naaa是常数，1011()mmmmmpxbtbtbtb。作变量变换，令kxe，则方程可化为1111()nnnnmnndydydyAAAypxdtdtdt（15）其中12,...,nAAA都是常数。对于方程(15)可采用比较系数法求得一特解1011(...)kmmmmytBtBtBtB故(14)有特解x1011(...)kmmxmmtBtBtBtBe,其中k为特征方程F(λ)=0的根λ的重数。3)对于n阶微分方程F(t,x,'x…,()nx)=0,当方程不显含未知函数x,或更一般地,设方程不含x,'x…,()nx,即方程:()(1)()(,,,...,)0kknFtxxx(1kn)(16)作变量变换,令y=()kx,可将方程降为关于y的n-k阶方程'(,,,...,)0nkFtyyy4)对于n阶微分方程()(1)()(,,,...,)0kknFtxxx,当方程不显含自变量t,即方程()(1)()(,,...,)0kknFxxx(17)作变量变换,令x′=y,采用数学归纳法不难证明,()kx可用y,dydx,…,11kkdydx表示出(k≤n),将这些表达式代入方程(17),可使方程化为关于x,y的n-1阶方程1111,,,...,0kkdydyGxydxdx5变量代换法求解Euler方程形如11111...0nnnnnnnndydydyxaxaxaydxdxdx(18)的Euler方程,这里1a,…na为常数。对于Euler方程,我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。角度一:引进自变量的变换txe,则lntx,通过直接计算及数学归纳法不难证明:对于一切自然数k均有关系式1111(...)kkkktkkkkdydydydyedxdtdtdt其中121,...,k都是常数。于是有1111...kkkkkkkkdydydydyxdxdtdtdt(19)将(19)代入方程(18),就得到n阶常系数齐次线性微分方程1111...0nnknnnndydydyxbbbydtdtdt(20)其中12,...,nbbb都是常数。此方程可采用特征根法求得通解,再代回原来的变量lntx就可得欧拉方程(18)的通解。12角度二:由于n阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如tye的解,结合角度一中的推演过程,从而方程(18)有形如yx的解,因此可直接求欧拉方程形如yx的解,作变量变换kyx,代入方程(20),并约去因子kx,即可得到确定k的代数方程,也是方(20)的特征方程1(1)...(1)(1)...(2)...0nkkknakkkna(21)因此,方程(21)的m重实根0kk,对应于方程(18)的m个解000021,ln,ln...,lnkkkkmxxxxxxx而方程(21)的m重复根ki，对应于方程(18)的2m个实值解:1cos(ln),lncos(ln),...,lncos(ln)mxxxxxxxx1sin(ln),lnsin(ln),...,lnsin(ln)mxxxxxxxx