电磁学02

第二章导体周围的静电场，静电能量电磁学02-01:导体导体的性质：第一类导体(金属，均匀)电平衡弛豫时间极短(瞬时)周围不存在电介质，绝缘材料的相对介电常数为1，电荷密度、静止等定义均指宏观量。静电平衡条件：均匀导体內部场强处处为零每个均匀导体都是等势体；电荷静止不动(宏观)。200constant()()1000(insideconductor)iiisystemiQViQVSSSQEEErdVUUUrdVEdSQdivEUEdlrotEdEρεε=====⋅=⇒=−∇=⋅=⇒==∑∑∫∫∫∑∫∫∫∑∫∫内电磁学02-01:导体以金属为例：自由电子浓度1025cm-3，金属球表面电场152025619101.60910C0.005m15.121610V/m4QrQErπε+−=××==→×一个金属针尖，曲率半径10-9m，如果针尖电压10V，针尖处电场为1010V/m，足够电离化离子，激发电子。一般静电学问题中电场要低很多，因此静电平衡条件总被满足电磁学02-02:导体电荷分布导体表面电荷与法拉第圆桶实验：电磁学02-02:导体电荷分布Otherexperiments:范德格拉夫起电机电磁学02-02:导体电荷分布范氏起电机工作原理:ConfettiandtheVandeGraaffGeneratorFaraday'sCage电磁学02-02:导体电荷分布实验事实是：静电平衡时，导体所带的电荷都分布在导体的表面上，导体内部不可能有未抵消的静电荷。++++++++++__++++++Q-QS---------00/0,00/0()0EdSQEdlEdSESQdQQψεψψε=⋅==⋅==⋅==++−===⋅=∫∫∫∫+++++++++++++-+-+不仅是高斯定理，还有环路定理，都需要被满足电磁学02-02:导体电荷分布【例2.1.7】一导体球壳A带有电荷量qA0，导体小球B带有电荷量qB0。用绝缘丝带吊起小球B经小孔放入球壳A内。(1)B与A不接触，另A瞬时接地，然后断开接地，将B取出。球壳A与小球B带电情况如何？(2)B与A的内壁接触，A不接地，然后将B取出。球壳A与小球B带电情况如何？静电平衡条件下上面的球壳内表面有电荷么？电磁学02-03:库仑定律验证(来自北大李芳华教案)源于Cavendish-Maxwell多年的工作，Cavendish(1731-1810)设想：库仑力F∝r-2±δ∝r-n，若δ≠0，则均匀带电导体球壳内表面将带电。找出此函数关系(理论)，比较Q内与Q总(实验)，便可确定δ的下限。电磁学02-03:库仑定律验证首先，若δ≠0，则均匀带电球面对内部任意点电荷作用力不为零。球面电荷密度σ。位于球内任意电荷Q受电荷元σdS1和σdS2的共同作用。12122212122212coscos,11()20cosnnnndSQdSQdSdSdFdrrrrQddFndFrrσσθθσθ−−∝−Ω==Ω∴∝−⇒=⇒=电荷在球壳内任一点处(除球心外)都受到电场力；结论：若δ≠0，均匀带电球壳在球内各处场强不严格为零(球心除外)。电磁学02-03:库仑定律验证推论：若δ≠0，带电导体球壳内表面应带电。δ≠0时，若内表面无电荷分布(只分布在外表面)，使导体中自由电子因受力或趋向球心运动，或背离球心而移动，最终使电荷分布满足导体内场强处处为零的条件——内表面有电荷分布。导体内表面带电导体壳所谓导体，就是其内部(球壳内部)有取之不尽用之不竭的电荷(电子)电磁学02-03:库仑定律验证1773年：“我取一个直径为12.1英寸的球，用一根实心的玻璃棒穿过中心当作轴，并覆盖以封蜡。……然后把这个球封在两个中空的半球中间，半球直径为13.3英寸，1/20英寸厚。……然后，我用一根导线将莱顿瓶的正极接到半球，使半球带电。”用一根导线将内外球联在一起，外球壳带电后，取走导线，打开外球壳，用木髓球验电器试验内球。木髓球验电器没有指示，证明内球没带电，指数δ≤0.02电磁学02-03:库仑定律验证Cavendish同心球实验结果和他自己的许多看法没有公开发表。19世纪中叶，开尔文发现Cavendish的手稿中有圆盘和同半径的圆球所带电荷的正确比值，才注意到这些手稿的价值，经他催促，才于1879年由Maxwell整理发表。他的许多重要发现埋藏了一百年之久。Maxwell说：“这些关于数学和电学实验的手稿近20捆，其中物体上电荷(分布)的实验，Cavendish早就写好了详细的叙述，并且费了很大气力书写得十分工整(就象要拿出去发表的样子)，而且所有这些工作在1774年以前就已完成，但Cavendish(并不急于发表)仍是兢兢业业地继续做电学实验，直到1810年去世时，手稿仍在他身边。”(童孩们没有理由不工整地书写作业！！！)电磁学02-03:库仑定律验证看看Maxwell这个大理论家是如何做实验的。改进Cavendish实验：导体球壳A、B之间用绝缘的硬橡胶环固定；A球固定在绝缘支架上；利用C，使之可相连或分开；M用来估计外壳上的原始电荷。推论：若δ≠0，带电导体球壳内表面应带电。带电导体壳A导体内表面B电磁学02-03:库仑定律验证与δ≠0对应，下述实验完成后，应有：球壳内电荷Q′内，球壳B电势V′BQ内(Q总,δ,a,b)≠0V′B(V,δ,a,b)≠0a为A球壳半径，b为B球壳半径，V为两球壳初始电势。实验步骤：(1)合C，A与B相连，充电VA=VB=V(2)撤C，A与B分开，A接地放电，留原处，V′A=0。如果δ=0，B之电荷一定全跑到A上，因此应有V′B=0(3)如果δ≠0，则一般QB≠0，感应导致Q′A≠0，V′B≠0电磁学02-03:库仑定律验证只要求出V′B(V,δ,a,b)≠0，即可证明δ≠0并求出δ的最大值。任何时刻，球壳内外表面的电荷分布均匀，可得半径R的球壳产生的电势分布(空间任意一点P，球坐标)：22(0),PrrErdqVdVEdrdrrδδδ−±∞∞−∝≠∴===∫∫∫∫∫球面球面球面取(2-δ)为例考虑原点位于球心的球坐标：电磁学02-03:库仑定律验证12222200002222222000'()()sinsin'()sin1sin,(),'()()2cossinsin'(rrrPrPfrVrRdddrRddqRddrfrrrdrrrRdRdrdrrdrRdddRdrfrRddrRdVfdππππδπππσθθϕσθθϕσθθσθθϕθθθθϕσθ∞−∞=Φ==∴=Φ=+−∴=Φ==∴⇒==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫12122120,)2[()()]0(1)0rrRrdrddRfrfrfordRrrRdrrRdfordRfordRdπϕπσθπθ−==+==−↔==−=⇒⇒=∫∫面元RdθrOP电磁学02-03:库仑定律验证22[()()](2)2[(2)(0)](3)2[()()](424)PfRdfdRforPRdVfRfforPafRdfRdfoRrPRdααααπσ+−−↔∴=−↔+−−↔=在球外在球上在球内为球面总电量可以看到，表达式与满足库仑定律下的表达式很不相同，都是δ≠0惹的祸。下面针对两个套在一起但不连通的同心球壳来计算各个球壳内外表面处的电势(注意，对每个球壳，薄薄的壳层内部电势是相等的)。电磁学02-03:库仑定律验证对球壳A：球壳A与球壳B各自电荷产生的电势和。2[(2)(0)][()()](5)22AVfaffabfabaabαβ=−++−−↔外壳上，R=a,d=a内壳外，R=b,d=a对球壳B：球壳A与球壳B各自电荷产生的电势和。2[(2)(0)][()()](6)22BVfbffabfabbabβα=−++−−↔内壳上，R=b外壳内，R=a,d=bVA≠VB现在假定两个球壳用导线连通，电荷重新分布，VA=VB=VabB,βA,α电磁学02-03:库仑定律验证(1)合C，A与B相连，充电VA=VB=V，使得式(5)=(6)，消去球壳B上的电荷β，得到22[(2)(0)][()()]2(7)[(2)(0)][(2)(0)]1(),'()()()([())()]0rbfafafabfabVbfaffbffarfrrrdrfrfabFbrδββδ∞−Φ=∴=Φ−−+−−=↔−−−+−−⇒=⇒≠∫电磁学02-03:库仑定律验证(2)撤C，A与B分开，A接地放电，则A球上电势VA=V⇒V′A=0因留原处并保持接地——A表面有感应电荷α′，由式(5)=0解得：()()[](2)(0)()()/.((8)(6)[1](2)()0)9BbfabfabafafafabfabEqVVbfafαβαβ+−−′=−−+−−′′⇒⇒↔↔=−−电磁学02-03:库仑定律验证可见在球壳A接地后，电荷重新分布导致球壳B的电势V′B≠0。近似计算V′B=？先计算f(r)=?21121ln22221()()11()()(0)11()(0)111(1ln(ln))1)!(102rrrrrfrrrdrrrdrrrrrfrfrdrdrfrrfrferrrδδδδδδδδδδδδδδδδ∞∞−+−+∞++′=Φ===−+−′===+−−−==−−=+↔++−∫∫∫∫电磁学02-03:库仑定律验证最后求得V′B：222()[1ln()]()[1ln()]12[1ln]14lnl(1n12)BaababababVVbaaaaabVabbabδδδδ+++−−++′=−⋅++↔=−−−电磁学02-03:库仑定律验证Maxwell经过这些巧妙的理论推导，然后代入其实验参数(V,a,b)，得到下式，其中d为静电计最大零点漂移或者说精度：如何确定d？给予静电计零点漂移d以定量结果。d取决于仪器的灵敏度，当时实验设备十分简陋，没有绝对测量的标准仪器，确定d有困难。Maxwell巧妙地将d与充电电势V相比较给出d/V的下限，再由式(12)确定δ的下限。方法：因V太大，经反复感应，使之缩小为V/486。0.1478(12)BVVdδ′=−↔此d非彼d电磁学02-03:库仑定律验证巧妙方法：将球A充电到电势V、带电量Q(Q0)，小球接地，因感应，小球带电-Q/54撤去小球地线，保持其电量，再将大球接地，达到平衡后大球因受小球感应带正电，电量为小球的1/9撤去大球地线，保持其电量，再将小球移去——单独的大球的电势和电量从最初的Q、V减少为最终的值电磁学02-03:库仑定律验证确定δ的下限：静电计指示偏转为D=V/486，将D与d相比较，估计得D300d。比较后得59161879,Maxwell5101301930300486145806,Plimptonetal2101971,Williametal(2.73.10145800110.14780.14781458002160)001DVVddVdVδδδδ−−−==⇒⇒×⇒×⇒±××=×电磁学02-03:库仑定律验证测量方法构思巧妙：示零实验——假定有，证实没有。理论分析用到了静电学中许多知识，如：导体的静电平衡、电势计算、利用数学工具来避免复杂计算。要从前辈大师杰出工作中领悟物理学研究方法，通过对他们提出问题、研究问题、设计实验来证实自己猜测与判断最后得出结论的了解而得到启迪。大家相信了库仑定律了没？如果没有，我们可以继续用数学让你痛苦！放飞你的思维，看看有没有新招来检测库仑定理的平方反比准确性！电磁学02-03:库仑定律验证这种实验到现在还有报道：电磁学02-04:导体表面电场与电荷分布导体表面附近电场强度定性分析：因为导体表面为一个等势面，其外侧电场强度垂直于导体表面。电磁学02-04:导体表面电场与电荷分布定量分析：电荷面密度σ(x,y,z