基于WDFT的频率偏移估计

基于WDFT的频率偏移估计摘要：WDFT提供了在不增加采样数目N的情况下，对任意选定的频谱区域增加频谱精度。可以将待处理信号的重点频段的频谱精度大幅提高，又能保持信号非重点频段的频谱精度的基本要求。该文重点研究了利用WDFT算法来估计高频载波信号的一个比较小的频率偏移。在估计精度和计数复杂程度上,与传统的DFT和NDFT进行了比较，突出了WDFT的优越性，并用数例充分说明了这个比较。关键词：DFT;NDFT;WDFT;ComputationalcomplexityEstimationoffrequencyoffsetusingwarpeddiscretefouriertransformAbstract:WDFTprovidedwithoutincreasingthenumberofsamplesinthecaseofN,foranyselectedfrequencyspectrumtoincreasetheprecisionregion.Signalprocessingcanbethefocusofasubstantialincreaseinprecisionfrequencyspectrum,whilepreservingthesignalfrequenciesofthespectrumofnon-focusaccuracyofthebasicrequirements.ThispaperfocusesontheuseofWDFTalgorithmtoestimatethehigh-frequencycarriersignalofarelativelysmallfrequencyoffset.Countintheestimationaccuracyandcomplexity,andthetraditionalDFTandNDFTcompared,highlightingtheadvantagesofWDFTandfullyillustratedwithseveralcasesofthiscomparison.1.引言随着数字技术与计算机技术的发展，数字信号处理技术已深入到各学科领域。快速傅立叶变换（FFT）技术的提出，大大减少了离散傅立叶变换（DFT）的计算量，使之得到广泛的应用。但是DFT只能给出均匀分布点处Z变换的值，要提高频谱精度，必须增加采样点数目N，这就导致计算量迅速增加。为克服DFT算法的上述缺陷，我们期望获得更为一般的采样点处的Z变换值，于是提出了使用FFT来计算单位圆上非均匀分布采样点处Z变换的算法，从而可以用不均匀的频谱精度来进行频谱的计算分析，这就是弯曲离散傅立叶变换(WarpedDiscreteFourierTransform,WDFT)。WDFT提供了在不增加采样数目N的情况下，对任意选定的频谱区域增加频谱精度的一种良好选择。WDFT与被分析信号的频率特性相结合，通过选择全通弯曲函数及其弯曲参数，可以将待处理信号的重点频段的频谱精度大幅提高，又能保持信号非重点频段的频谱精度的基本要求，因而可作为数字信号处理中非常有用的工具。我们知道，信号处理领域的信号都和一定的频段有关系，例如在分析语音信号时，由于人耳的生理心理模型的作用，我们更关注语音信号低频段的情况，而较少关注其高频段的情况。这就刚好和某一类AWF及弯曲参数相吻合，因此，可以使用WDFT技术，不增加采样点数目N就可以得到更好的语音信号分析精度。应用WDFT的理论可以估计射频信号的一个很小的频率偏移,并且在估计精度和计算次数上,与DFT和NDFT相比,有很大的优越性。在很多地方（如接收器或蜂窝系统的基站），都需要估计在一个大载波信号附近的频率偏移。典型的，如信号()cos(2())cxtAfft(1)是有限长时间信号，经过频率为sf的抽样信号抽样后就转化成了一个N点离散序列，这时可表示为：0[]cos()xnAwwn，n=0，2，…,N-102csfwf和2sfwf(2)X[n]中的频率偏移w就是用WDFT的理论来估计的。该论文的结构如下：第一部分简要介绍了WDFT和NDFT的理论，第二部分讨论了WDFT估计频率偏移的应用，第三部分将WDFT在估计精度和计算复杂度上与DFT、NDFT进行了比较，第四部分做出了总结。1.1DFTDFT在分析离散信号频谱上的应用很广泛。对于给定长度为N的序列x[n]，其离散傅立叶变换X[k]就定义为z平面单位圆上均匀分布的N个点处z变换的值。120[][],01NjkNnXkxneKN(3)在估计频率偏移的问题上，x[n]的频率抽样必须达到高频0w，由于DFT只能提供固定精度2N，要估计频率偏移w，其长度必须很大，因此考虑到了采用WDFT或NDFT理论来估计。1.2NDFT有限长度N序列x(n)的非均匀离散傅立叶变换定义为：10()()NnkknXzxnzk=0,1,…,N-1(4)其中0z,1z,…1Nz是Z平面上任意分布的N个不同点，式(4)可以写成如下矩阵形式：X=Dx(5)其中：011()()...()NXzXzXXz,(0)(1)...(1)xxxxN(6)12(1)00012(1)11112(1)1111,,,...1,,,..........................................................................................1,,,...NNNNNNzzzzzzDzzz(7)注意，NDFT矩阵D是范德蒙特矩阵（Vandermonde），完全由N个点kz来决定。对于频率偏移的估计，NDFT的频率响应()jwXe中的w可以达到0w，因此可以估计频偏。通常情况下，NDFT的计算涉及到了由x(n)组成的长度为N的矢量D的乘法。其抽样点的灵活性可以使频谱精度达到我们所期望的任何值，然而，随着计算的深入，需要2N个复杂的乘法运算。在某些特殊情况下，例如在单位圆上，NDFT可以应用Goertzel算法达到计算量的简化。1.3WDFTWDFT是一般非均匀离散傅立叶变换(NDFT)的特殊形式，与被分析信号的频率特性相结合，通过选择全通弯曲函数及其弯曲参数，全通弯曲函数(AWF)将频率坐标弯曲了，在ˆz平面单位圆上均匀分布的点被映射到z平面单位圆上的不均匀分布点。可以将待处理信号的重点频段的频谱精度大幅提高，又能保持信号非重点频段的频谱精度的基本要求，它与DFT最大的不同是避免了单纯靠提高采样点数目N来提高频谱精度的问题。为方便起见，我们记长度为N的序列x[n]的N点WDFT[]Xk等于采用下列变换将X[z]的修正Z变换ˆ()Xz在N个均匀分布点的频谱采样值：1ˆ()zBz(8)将映射应用到10()[]NnnXzxnz(9)可得10ˆˆ()[]()NnnXzxnBz(10)若定义ˆ()ˆ()ˆˆ()AzBzAz(11)其中ˆˆ()Az是ˆ()Az的镜像多项式，即ˆˆ()Az=ˆMz1ˆ()Az，即得到10ˆˆ()()ˆ()[][]ˆˆ()ˆ()NnenePzAzXzxnDzAz(12)WDFT就定义为ˆ()Xz在2ˆjkNze处的值222ˆˆˆˆ()ˆˆ[]()ˆ()jkNjkNjkNezezeezePzXkXzDz(13)2.应用WDFT估计频率偏移对于X[n]的频率响应()jwXe，须在0w频率附近抽样密集，才能有效的估计(2)式中的频率偏移w，()jwXe的最大值频率抽样可以帮助我们确定0w附近的频率偏移。需要选择的参数如下：1．WDFT的长度2．全通函数'()Cz的阶数M3．'()Az的系数参数选定后，接下来就讨论WDFT的计算理论。2.1WDFT的计算上面已经定义了WDFT的值，再定义ˆˆˆ()()modNePzPzz=100,(1)ˆnmNNnenmnmNMNPz(14)其中reP是ˆ()ePz的第i个系数，同样地，定义ˆˆˆ()()modNeDzDzz(15)ˆ()Pz和ˆ()Dz的阶次都是N-1，因为2ˆˆ1jkNNzez(16)则WDFT的计算可以从式(13)而化为22ˆˆˆ()ˆ[]ˆ()jkNjkNzezePzXkDz(17)令ˆ[]Pk，ˆ[]Dk分别为从ˆ()Pz和ˆ()Dz的系数得到的长度为N的序列的N点DFT2ˆˆˆ[]()jkNzePkPz，2ˆˆˆ[]()jkNzeDkDz(18)则ˆ[]ˆ[]ˆ[]PkXkDk(19)最后，WDFT的系数可以写成ˆ[0]ˆ[1]...ˆ[1]DXXWQxXN(20)其中1,0..........0ˆ[0]10,...........0ˆ[1]........................................................................10,0...ˆ[1]DDDDN(21)接下来我们用一个例子来说明这个过程，并比较分别由WDFT,DFT,NDFT计算的结果。2.2例子在(1)中，令4scff，02w，并且序列X[n]的长度N为64。若使用传统的DFT，其频率精度为2N，因此用64点DFT来估计的频率偏移的最大误差为120.049264DFTerrradsample(22)如果我们假设10cfKH，那就意味着在cf附近用64点DFT来估计的频率偏移的最大误差为312.52sDFTDFTfferrHz(23)现在我们用2阶全通函数'()Cz，64点WDFT来估计频率偏移。令''2'1()Azzazb，此时频率映射为：'2'1''2'11()1zazbCzbzzaz，a，b为适当的实系数(24)令jwze，''jwze，可以得到''''''22'()1()jwjwjwjwjwjwjweaebAeebeaeAe(25)由''''2()()jwjwjwAeeAe(26)''''()()jwjwAeAe(27)由(25)式比较两边的实部和虚部，可以得到以下的频率映射''cos()(1)cot()cot()21waecwbwb(28)3．三种算法的比较三种算法的比较主要是从估计频偏的精度和计算的复杂程度两方面来对比的。3.1精度在WDFT的频率范围[a，b]内，我们取两组值，一组为2的正向偏差频率点，一组为2的负向偏差频率，可以获得比直接在2附近取单向偏差更高的精度。对于一个64点的WDFT，当[a=2.176,b=-1.166]和[a=-2.087,b=-1.633],在WDFT抽样幅度取最大的情况下,可以较精确的计算两组值的频率偏差。MATLAB可以很好的验证上述结论，此时在2附近的频率偏移量w的范围为-0.05rad/sample到+0.05rad/sample。(22)式表明，64点DFT不能估计此范围的频偏，而64点WDFT可以估计此范围的频偏，且最大误差为：0.0055WDFTerrradsample(29)若cf和sf取(23)的值，此时2sWDFTWDFTfferr=35Hz(30)我们可以看出利用WDFT理论需要64点就可以有效的估计，但是使用DFT需要1024个点。利用64点NDFT的理论来估计上述例子，在[20.05,20.05radrad]的频率范围内分均匀取样，可以得到最大误差0.0016NDFTerrradsample(31)10.22sNDFTNDFTfferrHz(32)显然，对于M=2，与利用WDFT的