基于中考数学试题分析初中数学能力体系

DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护基于中考数学试题分析初中数学能力体系姜堰市克强学校李齐荣[摘要]近年来各省市初中毕业与升学考试数学试卷在考查基础知识、基本技能、基本思想和基本数学活动过程及经验的基础上，突出对学生数学能力，特别是综合能力的考查。数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等几个方面的能力；综合能力主要是指发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。能力的培养不是一朝一夕的，需要个体在相应的活动过程中不断地自主体会、归纳提升；需要从中考试题中找准方向有针对性训练，形成能力。能力决定成败，初中生经历三年的日积月累，要能形成自己的数学能力体系，备战中考，决战人生。[关键词]中考数学能力知道近年来各省市初中毕业与升学考试数学试卷在考查基础知识、基本技能、基本思想和基本数学活动过程及经验的基础上，突出对学生数学能力，特别是综合能力的考查。数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等几个方面的能力；综合能力主要是指发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。学生对考点，清楚明了，但不能灵活运用、综合应用，这充分表明能力缺乏。知彼知己，有针对性地培养能力，事半功倍。2011年版义务教育《数学课程标准》中指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”中考试题具有毕业与升学两种功效，毕业试题立足考查“四基”，升学试题侧重考查综合能力。一份数学试卷，28题左右，要考到初中三年的重要知识点，综合性比较强，常在一题中考查多个知识点、多种能力，且整份试卷上很少会有重复出现的知识点或思想方法，而能力会以多种姿态呈现，广泛应用。1.感悟数学情境，培养数感理解并掌握实际问题中数的意义，找出并用语言描述出具体情境中的数量关系，就是一种数感；当我们遇到可能与数有关的问题时，就能有意识地与数学联系起来，并试图进一步用数学的观点和方法来处理、解释或估算也是数感。可见，数感就是主动地、自觉地或自动化地理解数、运用数的意义和运算方法去认识、理解现实世界的能力。例1：（2012年南京，第4题，2分）12的负的平方根介于（）A.—5与—4之间B.—4与—3之间C.—3与—2之间D.—2与—1之间【分析】“数感”是个体的一种感知和领悟。感悟对象包括数与数量、数量关系、运算结果的估计等。本题考查的主要知识点是平方根、负数的大小比较及无理数的估算。这要求学生在学习无理数的概念、无理数与有理数的关系后根据自己已有的数感估算出12的范围。例2：（2012年扬州，第8题，3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如191715134,11973,532333，…若3m分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（）A．43B．44C．45D．46【分析】例2要求学生凭数感探索规律，凭对题目的理解，对知识的综合应用去探索其中的奥秘。11973,53233，1917151343，等式的左边是3m，右边是相连的m个奇数的和，由5323，可认为第一个奇数为12m，由119733，可认为第一个奇数为12m，而第三个式DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护子两者都不对，此时只有凭数感，对3、7、13重新分解，3m分裂后的第一个奇数是1)1(mm，共m个相连奇数的和。数感的形成有一个较为漫长的过程，日常教学过程中教师要引导学生把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，事半功倍。例3：（2011年泰州，第25题，10分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回．设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为1sm，小明爸爸与家之间的距离为2sm，图2中折线OABD、线段EF分别是表示1s、2s与t之间函数关系的图象。（1）求2s与t之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？【分析】“数感”的形成需要在实际背景的情境中进行，而且这些背景应当包含需要感悟的对象。像例3这类创设的情境与学生的生活密切相关的问题很多，这既让学生体会数学来源于生活，学习数学知识后，用数学知识感悟生活，用数学思想分析、解决生活中的实际问题。同时，也要求学生建立数感，理解现实生活中数的意义，用函数思想、方程思想等理解或表述具体情境中的数量关系。日常教学过程中教师要引导学生把数感的建立与符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，这有助学生整体数学素养的提高。2.树立符号意识，培养抽象概括能力帮助学生初步形成符号意识是发展学生数学思维，特别是抽象思维的起始，对抽象概括能力的考查主要从数学语言与数学模型两方面进行。数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，初中学生能熟练地将这三种语言相互转化，是科学解题、规范书写的必要保证。树立符号意识是架起文字语言和图形语言间转换的桥梁，主要表现在用符号表示和操作符号上，因此，发展学生的符号意识应当让学生经历“从具体到抽象”的过程，并从事“用符号表达一般关系”、“对符号进行转换”和“解释符号所表达对象（操作）的实际含义”等活动。例4：（2012年盐城，第8题，3分）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依此类推，则a2012的值为（）A．-1005B．-1006C．-1007D．-2012【分析】本题只要进行迭代计算：12a，13a，24a，25a，……，由这些具体的数，学生借助数感，探索其中规律，并用符号语言进行抽象概括为naann122，再去验证，1a、2a、…，发现结论正确，故10062012a，选B。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。例5：（2009年吉林，第16题，3分）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图2所示的形状，那么折痕PQ的长是（）A．233cmB．433cmC．5cmD．2cm【分析】这是一道简单的操作题，许多学生看完题目就能用小纸条做出模型，折纸类题目平时就在练习，而本题的题目及图形较简单，许多学生无从下手。如何将这道操作题转化为数学问题呢？平时的试题s(m)t(min)24001012ABCDOEF图160°PQ2cm图2ADBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护都有图示的虚线，借助辅助线学生不难发现△APQ为等腰三角形，再加上图中的60º，△APQ为等边三角形。图中的纸条宽与△APQ的关系的探寻是难点，也是解决本题的关键，图象语言2cm其实是△APQ，AP边上的高。因此，本题就可由具体的折纸问题，抽象概括为这样一道数学问题：已知等边三角形一边上的高为2cm，求其边长。求解这道几何题的过程需要用符号语言进行描述、推理。本题需要学生对数学的三种语言熟练掌握、并相互转化，文字语言和图象语言可以帮助学生理解题意，而符号语言能力能帮助学生完成推理和论证。3.平面与立体互动，直观与抽象互化，提高转化能力在中考数学试题内容中空间与图形是核心。空间观念主要是由具体物体抽象出几何图形，由几何图形想象出所描述的实际物体；能进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形或依据语言描述画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，探索解决问题的方法和思路，预测结果；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考等方面的能力。例6：（2012年宿迁，第4题，3分）如图是一个用相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方块的个数是（）A.2B.3C.4D.5例7：（2012年泰州，第6题，3分）用4个小立方块搭成如图6所示的几何体，该几何体的左视图是（）【分析】空间观念存在于“从实物到抽象图形”的转化过程中，存在于对图形之间的大小、位置关系的感知与想象过程之中。例6是由几何图形想象出所描述的实际物体，例7是由具体物体抽象出几何图形，进行几何体与其三视图的转化，这些题型在近年的中考试题中已是常见题，主要考查了学生的空间观念和几何直观的能力。例8：（2012年无锡，第27题，8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．【分析】问题（1）要求学生读懂题意，理解d（O，P）=1的含义，得：1yx。如何画出其图象？这是本题的难点，学生要能数形结合，根据点P可能在的象限对x，y的符号进行讨论，共四种情况，又x，y满足1yx，则11x，11y，故，满足题意的图象如图6所示。问题（2）依题意知：12),(yxQMd，又Q（x，y）是直线y=x+2上的点，则y=x+2，所以，12212),(xxyxQMd12xx，x可取一切实数，主视图左视图俯视图图3图5图6DBFQSYYDYPTDFDF农家乐旅游全搜*索北京公*司注*册郑多燕*减*肥舞锌钢护xx表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为当数x表示的点在数-1和2所对应的点之间时，距离的和为定值3，即点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。本题要求学生要能根据题意，用绝对值表示点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离，方能探索出本题的解题策略。绝对值是代数与几何的桥梁，是数形结合中最常见的切入点，数学中的数形结合思维方式是一种典型的几何直观。例9：（2012年苏州，第10题，3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图7所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）A．1833B．1813C．633D．613例10：（2012年盐城，第25题，10分）如图8中图①所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC