可逆矩阵及应用举例

§5可逆矩阵及应用举例本节要点一、可逆矩阵的基本概念二、逆矩阵的求法三、克拉默（Cramer）法则四、矩阵方程五、逆矩阵在加密传输中的应用§5可逆矩阵及应用举例一、可逆矩阵的基本概念对于一元线性方程ax=b，当a0时，存在数11aa，使方程有解1,bxaba对于n个未知数、n个方程的线性方程组Ax=b,是否也能找到矩阵B,使方程有类似形式的解x=Bb呢?这问题的一般性讨论已超出本书范围,但读者不难看出,如果对于方程的系数矩阵A,存在n阶方阵B,定义1.11对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使,nAB=BAE(1.17)则称矩阵A是可逆的,并把方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.使EBA的话，那么用B左乘上述方程bAx的两边，得BbBAx,因EBA，于是BbxEx，这样就引出了逆矩阵的概念。如果矩阵A是可逆的,那么A的逆阵是唯一的.这是因为,设B、C都是A的逆阵,则有,B=BEBACBACECC所以A的逆阵是唯一的.将A的逆阵记作1A,即有11AAAAE.对于定义1.11,读者应注意:(1)可逆矩阵一定是方阵,并且其逆阵为同阶方阵;（2）（1.17）式中,矩阵A与B的地位是对称的.所以,由(1.17)式,B也是可逆阵,并且A与B互为可逆阵,即1B=A,同时1A=B.方阵A是否可逆是A的一个重要属性,可逆矩阵在线性代数的理论和应用中都起着重要的作用.引入逆阵的概念后,就可以回答本节一开始提出的问题.如果现行方程组Ax=b的系数矩阵A是可逆的,则它有解1x=Ab..接下来需要解决的问题是如何判别方阵A是否可逆?如果A可逆,如何求他的逆阵1A?下面的定理回答了这两个问题.定理1.2(1)方阵A可逆的充分必要条件是A的行列式0A;(2)当A可逆时,11AAA*,(1.18)其中*A是A的伴随矩阵.证（1）必要性：若A可逆，即有1A使1,AAE于是1detdet1AAE.由矩阵取行列式的性质(İİİ),得111detdetdet,AAAA所以det0.A充分性:由例(1.32)的结果**diag,,,…,AAAAAAAAE当0A时,有11AAAAE.AA**由可逆矩阵的定义知A是可逆的,且11AAA*,即(2)的结论也成立.对于方阵A,若0A,称A为非奇异阵,否则称A为奇异阵.定理1.3表明:可逆阵就是非奇异阵.推论如果同阶方阵A、B满足,ABE则A可逆,且1AB.证由,ABE两边取行列式得1,ABABE=故0A,因而A可逆,进一步,用1A左乘ABE的两边,得11,AABA即1AB.上述结论对一阶方阵也是成立的.事实上,对于一阶方阵a,当0a时,11aa,由定理1.2的推论,a可逆,且11.aa方阵是否可逆,还有其他的判别方法,这将在以后章节中陆续介绍.例1.33判别矩阵A是否可逆?211015.113A=解211015651100.113A=由定理1.2,矩阵A不可逆.求可逆矩阵的逆阵是一种运算,它满足下述运算规律:(İ)若A可逆,则1A亦可逆,且11;AA(İİ)若A可逆,0则A也可逆,且111;AA(İİİ)若A、B为同阶方阵且均可逆,则其乘积矩阵AB也可逆,且111;ABBA(İV)若A可逆,则TA亦可逆,且1TT1;AA(V)若A可逆,则11.AA可将性质(İİİ)推广,即若123s,,,…，AAAA为同阶可逆方阵,则12s…AAA可逆,且111112ss21.……AAAAAA二、逆矩阵的求法如前所述，当A是可逆阵时，线性方程组Ax=b有解1x=Ab,因此就需要计算A的逆矩阵1A.事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求逆矩阵.求逆矩阵一般有两种方法.第一种方法是用公式(1.18),即11.AAA*第二种方法是用矩阵的初等行变换,具体方法是,设A是n阶方阵,把nE写在A的右边，构成2nn矩阵，记为A,E。当A可逆时，A,E的行最简形为E,B，其中n阶方阵B即是A的逆阵，即1,B=A于是有1.rA,EE,A这方法在下面的例1.35中，我们用初等行变换的方法先做一遍，其原理及计算将在第二章中详细介绍.第一种方法求逆阵,当矩阵阶数较高时,计算量较大,仅对于二阶及三阶方阵尚可考虑应用,故对于具体的数字矩阵,一般均用第二种方法.例1.34设二阶矩阵,abcdA=且det0,A求1.A解因det0,A故A可逆.又,det,A=ad-bc*,dbcaA=由公式(1.18)得11.abdbcdcaadbc上面的结果,可当公式使用.（两调一除）例1.35求方阵322541110A=的逆矩阵.解法一用初等行变换.(只用行变换)13322100110001541010541010110001322100rrA,E2111005101104101013012105101101000112123121353rrrrrrrr1323100126010127,001112rrrr由定理1.3,A可逆,且1126127.112A=解法二用公式(1.18).-10,A=故A可逆.再计算A的代数余子式:1112131,1,1,AAA2122232,2,1,AAA3132336,7,2,AAA于是112131*122232132333126127,112AAAA=AAAAAA由公式(1.18)11261127.112AAA*比较解一与解二,显见解一较简单.例1.36设方阵A满足2A+AE,证明A和2A+E都可逆,并求它们的逆阵.解由2A+AE得AA+EE,由定理1.2之推论知,A可逆,且1AAE.又由2A+AE得2-2AAEE,即2A+EAEE,2A+EEAE,同理,知2A+E可逆,且12.A+EEA三、克拉默(Cramer)法则第4节中在引入二阶行列式时,我们介绍了线性方程组11112212112222,.axaxbaxaxb的行列式解法.当系数矩阵11122122aaaaA=的行列式0A时,有唯一解1212,,xxAAAA其中11211112222212,.baabbaabAA现在把此结论推广到n个未知数、n个方程的线性方程组的情形.定理1.3(克拉默法则)设n个未知数12,,,nxxx…n个方程的线性方程组11112211211222221122++,++,++,nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb…………………(1.19)如果系数矩阵行列式0A,则方程组(1.19)有唯一解:1212,,,,nnxxx…AAAAAA其中n阶矩阵1,2,,jjn…A是把系数矩阵A的第j列用常数向量T12,,,nbbb…b=代替后所得的矩阵.证把方程组(1.19)写成矩阵形式Ax=b,(1.19’)其中12nxxxx=,12nbbbb=,分别是未知数向量和常数向量.因0,A故1A存在,令10xAb,有110Ax=AAb=AAbb,这说明10xAb为方程(1.19)的解.又:如果x是方程的任意解,则x满足(1.19′)式.用1A左乘(1.19′)式两端得1xAb.由1A的唯一性,知1xAb是方程(1.19)的唯一解.进一步,由11AAA*和10xAb,得11121112122222121nnnnnnnnxbxbxbAAAAAAx=AAAA1112211112222211221.nnnnnnnnnbbbbbbbbbAAAAAAAAAA(1.20)另一方面nnnnnnjabaabaabaA122211111第j列关注(1.20)式等号两边的第j个分量,即得,1,2,.jjxjnAA（略）例1.37设平面上二次曲线2012yaaxax过三点(1,2),(2,3),(3,5),求此曲线方程.解把三个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组012012012+2,2+43,3+95.aaaaaaaaa其系数行列式111124,139D=它的转置是一个范德蒙行列式.例1.26,02)23()13()12(D由克拉默法则,方程组有唯一解,且0211143242;2539a=D112111134;2159a=D211211123.2135a=D所以该二次曲线的方程为2112.22yxx对于线性方程(1.19′),若常数向量0b,即120,nbbb得齐次线性方程0.Ax(1.21)显然0x,即120nxxx是它的解.这个解成为方程(1.21)的零解;若0x是方程(1.21)的解,则称它为非零解.齐次方程一定有零解,但不一定有非零解.把克拉默法则应用于方程(1.21),有推论如果齐次线性方程组(1.21)的系数矩阵的行列式det0,A则它只有零解.四、矩阵方程含有未知矩阵的等式称为矩阵方程.在应用问题中,经常需要求解矩阵方程.例1.38设20,12A=,BAAB求矩阵B.解由,BAAB得BA-EA由于10,11A-E=其行列式10,A-E=故A-E可逆,用1A-E右乘(1.22)式得两边,得11.BA-EA-EAA-E于是1B=AA-E12010201012111211=20.12五、逆矩阵在加密传输中的应用可逆方阵可用来对需传输的信息加密.首先给每个字母指派一个码字,例如表1.4所示.表1.4字母abcdefghijklmnopqrstuvwxyz空格码字12345678910111213141516171819202122232425260于是为传输信息GONORTHEAST把对应的码字写成34矩阵（按列）7142011515819.018520B如果直接发送矩阵B,这是不加密的信息,容易被破译,无论军事或商业上均不可行,因此必须对信息予以加密,使得只有知道密钥的接收者才能准确、快速破译.为此,可以取3阶可逆阵A,并且满足（1）A的元素都是整数；（2）1.A这样1A的元素也均为整数。令CAB,则C是34矩阵,其元素也均为整数.现发送加密后的信息矩阵C,己方接受者只需用1A进行解密,就得到发送者的信息:1BAC.例如现取111101,011A=则1,A且1101112.111A=现发送矩阵111714201224733401011515819741519.01101852015331339CAB=接受者收到矩阵C后,用1A解密:11012247334011274151911115331339