叶宏本科概率1-1,2,3.

概率统计主讲教师叶宏山东大学数学院教材及参考书:《概率论与数理统计》高等教育出版社刘建亚吴臻主编辅导书:《概率论与数理统计习题精选精解》山东科技出版社张天德叶宏主编含《概率论与数理统计》教材中课后习题的详细解答;往年考研题目解析。叶宏课程网站—概率论与数理统计网址或者山大主页→本科教育→课程中心→搜索课程概率与数理统计或教师叶宏课后作业：线上作业及线下作业课程资料：教学录像；教学课件；电子教案；考试样卷及答案；作业卷测试题及答案；……山东省精品课程网站一.概率统计的研究对象A.太阳从东方升起；B.上抛物体一定下落；C.明天的最高温度；D.新生婴儿的体重.随机现象确定性现象在我们所生活的世界上，充满了随机性从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着随机性.概率统计的研究对象二.概率统计的研究内容随机现象的统计规律性随机现象是不是没有规律可言?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.这种随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.概率统计的研究内容三.概率统计的应用经济管理保险金融生物医药…………天气预报下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是第一章随机事件及其概率§1.1随机事件及其运算对某事物特征进行观察,统称试验.若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示试验前不能预知出现哪种结果1.随机试验与样本空间可在相同的条件下重复进行试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间——随机试验E所有可能的结果样本空间的元素,即E的直接结果,称为随机事件——的子集,记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间记为样本点(或基本事件)常记为，={}},,3,2,1,0{2N}),{(213TyxTyx其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度:3E观察某地区每天的最高温度与最低温度:2E观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间:1E投一枚硬币3次，观察正面出现的次数}3,2,1,0{1例1给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件——仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件——全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.复合事件——由若干个基本事件组成的随机事件.不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.A随机事件的关系和运算类同集合的关系和运算2.事件的关系和运算文氏图(Venndiagram)——A包含于BBA事件A发生必导致事件B发生ABBAAB且1.事件的包含2.事件的相等BA或BAAB事件A与事件B至少有一个发生BA发生nAAA,,,21的和事件——niiA1,,,,21nAAA的和事件——1iiA——A与B的和事件3.事件的并(和)BA或AB事件A与事件B同时发生BA发生nAAA,,,21的积事件——niiA1,,,,21nAAA的积事件————A与B的积事件1iiABABA4.事件的交(积)BABA发生事件A发生，但事件B不发生BABA——A与B的差事件5.事件的差——A与B互斥ABA、B不可能同时发生ABnAAA,,,21两两互斥,,,,21nAAA两两互斥njijiAAji,,2,1,,,,2,1,,,jijiAAji6.事件的互斥(互不相容)——A与B互相对立BAAB,每次试验A、B中有且只有一个发生ABAB称B为A的对立事件(或逆事件)，记为注意：“A与B互相对立”与“A与B互斥”是不同的概念7.事件的对立A吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(幂等律AAAAAA差化积)(ABABABA重余律AA运算律对应事件运算集合运算交换律ABBABAAB结合律)()(CBACBA)()(BCACAB分配律)()()(CBCACBA))(()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11反演律运算顺序：逆交并差，括号优先例1在图书馆中随意抽取一本书，A表示数学书，B表示中文书，C表示平装书.——抽取的是精装中文版数学书CABBC——精装书都是中文书BA——非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件例2利用事件关系和运算表达多个事件的关系A,B,C都不发生——CBACBAA,B,C不都发生——CBAABC习题一中不多于一个发生。、、中至少有一个不发生；、、中恰有两个发生；、、都不发生；、、都发生；、、不发生；发生，与表示下列事件：、、表示三个事件，利用、、设CBACBACBACBACBACBACBACBA)6()5()4()3()2()1(.1CABABCCBABCACBACABCBACBACBACBACBA.)4()3()2()1(.2ACBAAABCABAAAB；；；间的关系：指出下面式子中事件之BABCAACBAB§1.2随机事件的概率历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义于1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设在n次试验中，事件A发生了m次，1.频率与概率nmfn则称为事件A发生的频率频率的性质1)(0Afn1)(nf事件A,B互斥，则)()()(BfAfBAfnnn可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性规范性可加性稳定性某一定数)()(limAPAfnn投一枚硬币观察正面向上的次数n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005频率稳定性的实例蒲丰投币皮尔逊投币概率的统计定义在相同条件下重复进行的n次试验中,事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用设随机试验E具有下列特点：基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生则称E为古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记个数中所包含的基本事件的n的基本事件的个数组成AmnmAP)(则2.古典概型概率的古典定义例一颗骰子掷两次，求出现点数之和是8的概率答案：P(A)=5/36掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两次有6·6=36个等可能结果，设A为点数之和是8，有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5种情形。例设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.解：令A={恰有k件次品}nNknMNkMCCCAP)(超几何公式设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:Nk（1）某指定的k个盒子中各有一球；（3）恰有k个盒子中各有一球.km（2）某指定的一个盒子恰有m个球()例（分房模型）解kNnkNkAP!)(1kkNNkCAP!)(3kmkmkNNCAP)1()(2例“分房模型”的应用解n个人的生日均不相同,相当于本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”每个盒子至多有一个球或恰有n个盒子中各有一球.nnnCAP365!)(365某班级有n(n≤365)个人，求n个人的生日均不相同（设为事件A)的概率.3.几何概型(古典概型的推广)把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何概率.早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.几何方法的思路是：1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S);S该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.S2、向区域S上随机投掷一点，“随机投掷一点”的含义是:3、设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为SA)()()(SAAP4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用)()()(SAAP)(确定，只不过把理解为长度或体积即可.几何概率设样本空间为有限区域,若样本点落入内任何区域G中的概率与区域G的测度成正比,则样本点落入G内的概率为的测度的测度GAP)(例某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率9点10点10分钟616010)(AP例在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.A1/211Oyx211()32()()14SAPAS概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立.4.概率的公理化定义即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.设是随机试验E的样本空间，若对于E的每一事件A，都有一个实数P(A)与之对应,则称之为事件A的概率，只要满足下面的三条公理：非负性：0)(,APA规范性：1)(P11)(iiiiAPAP可列可加性：,,21AA其中为两两互斥事件，由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质及公式.下节课我们会详细介绍概率的一些简单性质.§1.3概率的基本运算法则它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.上次我们介绍了概率的公理化定义由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.三条公理：非负性：0)(AP规范性：1)(P11)(iiiiAPAP可列可加性：,,21AA其中为两两互斥事件，1.概率的性质0)(P基本性质加法公式性质1加法公式)()()(,BPAPBAPBA互斥，则若事件niiniinAPAPAAA1121)(,,,两两互斥，则若事件S因为AAS互斥与AA1=P(S)=P(A)+P()AＡＡAS性质2逆事件公式)(1)(APAP对任一事件A，有性质2在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).)(APA)(1)(APAP注意:S))(()(ABAPBP0)(ABP再由)(ABA)()(ABPAP由可加性设Ａ、B是两个事件，若,则有)()()(APBPABP)()(APBPBABA性质3减法公式)()(APBP移项得)()()(APBPABP对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABPBAB=AB+(B–A)P(B)=P(AB)+P(B–AB)B-ABAB注意:S)()())(()(ABBPAPABBAPBAPBAB又因再由性质3得证.)(ABBA对任意两个事件A、B，有)()()()(ABPBPAPBAPABAB性质4广义加法公式推广：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)()1()()