基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法

基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法摘要：关键词：四元数奇异值分解图像质量评价图像质量评价是图像处理的重要研究内容之一，作为算法性能评判及参数优化的重要指标，图像质量评价对于图像采集、压缩、编码、去噪、增强、水印、认证、存储、合成、复制等相关领域具有重要意义一。图像质量评价用来表征畸变图像相对于作为标准图像的原始图像的差异程度，其中的畸变图像主要指对原始图像进行如下变换：噪声（高斯、椒盐）、模糊（失焦、大气湍流、运动模糊）、有损压缩（JPEG、JPEG2000、SVD、小波）等。图像质量评价主要有主观和客观两种方式。考虑到传统的主观质量评价不仅对实验条件要求有着苛刻的要求，而且实施步骤复杂，不能满足实时性的要求，客观质量评价吸引了更多关注。根据参考图像的存在与否，客观图像质量评价方法又可分为全参考、半参考和无参考三种算法。其中，对于全参考算法的研究最为深入，并将其分为：①基于物理信号差异的方法，包括常见的均方误差（MSE)，信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）等指标；②基于人言视觉系统（HVS）建模的方法。例如，视觉信噪比（VSNR）利用HVS的临界阈值和超阈值视觉感知特点改进SNR，以便更好的吻合人眼视觉感知结果；③基于结构相似性的方法。假设结构信息丢失是造成图像质量下降的唯一原因，此类方法包括了结构相似度（SSIM)和它的多分辨版本（MSSSIM);④基于自然场景统计（NSS)的方法，包括信息置信度标准（IFC）和视觉信息置信度（VIF）。1.四元数基础1.1四元数及四元数矩阵的定义1983年，英国数学家哈密顿（HamiltonWR)创造了四元数[1],一个四元数q是四维空间中的一个数，它包含一个实部a和三个虚部b、c、d，其基本形式为：dkcjbiaq（1）其中，a、b、c、d是四个实数，基元i、j、k满足1222ijkkji（2）jikkiikjjkkjiij,,（3）四元数的全体记为H，若矩阵HaaAijnmij,)(，则称A为nm阶四元数矩阵，nm阶四元数全体记为nmH。1.2四元数矩阵的特征值和特征向量设)(qA为四元数矩阵，如果存在四元数及非零的四元数向量)(qx，使)()()(qqqxxA，称为)(qA的左特征值，)(qx为)(qA的属于左特征值的特征向量。同理，可以定义有特征值和特征向量的关系时：)()()(qqqxxA。1.3四元数的等价复矩阵设)(qA是nm的四元数矩阵，记作nmqHA)(，如果iBAAccq)()()(，其中)(cA和)(cB是两个复矩阵，那么)(qA的等价复矩阵定义为nmccccceCABBAA22)()()()()(。1.4四元数的等价实矩阵设nmqHA)(，若,)(kAjAiAAAkjirq),,,(kjirlRAnml，那么)(qA的等价实矩阵定义为nmrijkirkjjkrikjirreRAAAAAAAAAAAAAAAAA4)(2.奇异值分解和四元数矩阵的奇异值分解2.1奇异值分解[2]奇异值分解是一种有效的代数特征提取方法。任意实数或复数矩阵A可以分解成三个矩阵的乘积TUSVA,其中U、V为正交矩阵，即IUUT，IVVT;S为对角矩阵，即),,,(21isssdiagS，),,1(0risi，)(Arankr，is被称为A的奇异值，U的列向量称为A的左奇异向量，V的列向量称为A的右奇异向量，这就是奇异值分解（SVD），也可以写成：TiiriiVUsA1(4)从线性代数的角度来看，一幅数字灰度图像可以看成是由对应位置像素的灰度值作为元素组成的实数矩阵，即图像矩阵A，那么灰度图像（公式4）也可以被认为是r个秩为1的特征图TiiVU以各自奇异值为权相加的总和。2.2四元数矩阵奇异值分解的存在性性定理[3]若)(qX是秩为r的nm的四元数矩阵，则必存在两个四元数酉矩阵mmqQU)(和nnqQV)(，使得nmrqqHqRVXU000)()()(，其中，rrdiag,,,21，01(rii均为正实数，即为)(qX的奇异值，r22，符号H是共轭转置。即对任意的nm的四元数矩阵)(qX可进行如下的奇异值分解：HqrqqVUX)()()(000当然nnHqqmmHqqIVVIUU)()()()(,（单位矩阵）。文献[4]给出了四元数奇异值分解存在性的证明2.3四元数奇异值分解的意义[5]假设有HqqqVUX)()()(，那么2()()()()HHqqqqXXUU,2()()()()HHqqqqXXVV。所以，四元数矩阵奇异值分解的意义是：（1）2是HqqXX)()(和)()(qHqXX的实特征值对角阵。（2）)(qU和)(qV的列向量分别是HqqXX)()(和)()(qHqXX的特征向量。2.4四元数矩阵奇异值分解的算法第一步：给定四元数矩阵A,求出A的复表示矩阵A；第二步：求出复矩阵AA)(的特征值''22'11,,nn和相应于n,,,21的标准正交特征向量nxxx,,,21，记VnVVnxxxxxxV,,,,,,,(2121);第三步：计算''22'112211,,,,,,,rVrVVrrxAxAxAxAxAxA并扩充形成12mC的标准正交基，记),,,,,,,,,,,,,(1''22'1112211VmVrrVrVvmrrryyxAxAxAyyxAxAxAU);0,,0,,,,0,,0,,,,(''2'121rrdiag第四步：利用复表示的逆变换，求出,,VU。彩色图像的单个像素都是由三种基本颜色按一定比例组合而成的，包含R、G、B三分量的彩色图像的任一点),(yx处的像素都可用一个纯四元数（实部为0）来表示，如式（5）：kyxbjyxgiyxryxq),(),(),(),(（5）式中，),(),,(yxgyxr及),(yxb表示图像中点),(yx处的红、绿、蓝三基色值，kji,,是虚数单位。因此，一幅nm的彩色图像I就可以表示成一个nm的四元数矩阵，如下：)1,1()1,1()0,1()1,1()1,1()0,1()1,0()1,0()0,0(nmqmqmqnqqqnqqqI（6）根据（5）式，可将（6）式表示为如下形式：BkGjRiI（7）可以通过四元数矩阵与其等价实矩阵的关系来计算BkGjRiI的奇异值分解：第一步：写出彩色图像四元数矩阵)(qI的等价实矩阵)(reI；第二步：计算实矩阵)(reI的奇异值分解，即TrrreVUI)()()(~，T表示转置；第三步：通过~计算)(qI的奇异值，通过)(rU和)(rV计算)(qI的两个四元数酉矩阵。3.基于四元数奇异值分解的质量评价算法3.1现有评价算法分析传统的图像质量评价算法[6]MSE和PSNR是基于亮度误差的图像质量评价，设原始图像,,,2,1;,,2,1),,(NnMmnmI其中M和N为图像的像素宽度和高度，畸变图像为),(^nmI，则有211^)],(),([1nmInmIMNMSEMmNn（8）MSEnmIPSNR2)),(max(log10（9）式中，)),(max(nmI可以亮度的最大值255代替。这两种算法简单，从整体上反映了原始图像和畸变图像的差别，能较好的评价图像之间的能量误差，但不能反映局部质量差异（比如少数像素有较大灰度差别而其余更多像素有较小灰度差别的情况），也不能评价图像的几何变换等尺寸不一致的情况。设yx,分别为原始图像和畸变图像[6]，则定义质量评价为))((422222yxyxQyxxyz（10）式中，22,,,yxyx分别为yx,的均值、方差；2xy为x和y的协方差。zQ的值在]1,1[之间，当且仅当yx时，1ZQ,虽然文献[7]中给出的评价结果又其优越性，算法包含了相关性损失、亮度畸变和对比度畸变，但从式（10）可以看出，本方法仍是基于灰度统计误差的，因此对图像的几何变换等尺寸不一致的情况，仍然无能为力。参考文献[1]HamiltonWR.Onquaternions.ProceedingoftheRoyalIrishAcademy,1844.[2]张富强，李均利，李纲，满家巨，陈刚.基于四元数奇异值分解的视频质量评价方法[J].电子学报.2011.1,1.王征风，徐飞，王波，卢斌.一种四元数矩阵建模的彩色图像质量评价方法[J].航空计算技术.2014.11,44（6）.[3]陈明刚.四元数矩阵的奇异值分解及其应用[D].西安：西安建筑科技大学，2009.[4]Fuzhenzhang.Quaternionsandmatricesofquaternions.LinearAlgebraandItsApplicationa,1997,251:21-57.[5]邢燕，檀结庆.基于四元数奇异值分解的彩色图像分解[J].工程图学报.2011,2.[6]骞森，朱剑英.基于奇异值分解的图像质量评价[J].东南大学（自然科学版）.2006.7,36(4).[7]WangZ,BovikAC.Auniversalimagequalityindex[J].IEEESignalProcessingLetters.2002,9(3):81-84.