基于小波分析的机械故障诊断

绪论机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性基于小波分析的机械故障检测小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：设)(xg为一光滑函数，且满足条件0g(x)lim,1x)dx(gx，不妨设)(xg为高斯函数，即2221)(xexg，令dx,/x)(dgx)(由于0x)dx(，因此，可取函数x)(作为基小波。对函数)(xf的关于x)(的小波变换可写成dxaxxfaaWf)()(1),(dda)(xfdxxga)(（3-6）其中，)()1()(axgaxga仍为高斯函数，不妨设a0,则dxxgxfddaaWaf)()(),(（3-7）积分dxxgxfa)()(可看作是函数f(x)用高斯函数)(xga按尺度a进行光滑后的结果，当a很小时,用)(xga对)(xf光滑的结果对)(xf的突变部分的位置及形状影响不大，由式(6)可知,小波变换模),(aWf与尺度a下光滑后函数dxxgxfa)()(的一阶导数成正比。因此，),(aWf的极大值点对应的是dxxgxfa)()(的突变点，当尺度a较小时,dxxgxfa)()(的突变点就是)(xf本身的突变点。这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。下面介绍预备定理，它是利用小波变换进行机械故障检测的重要依据。定理1(预备定理)：对于平稳随机信号)(tx,其小波变换的均值为0，方差随着尺度因子a的增大而趋于零。证明：)(txWTEa=Edtxa)()(=dtxEa)()(=xmdta)((xm是)(tx的均值函数)。为了保证逆变换的存在，要求dtt)(=0,则)(txWTEa=0。设)()('txmtxx,其中，)('tx是零均值平稳随机噪声，则2)(txWTEa=2')(txWTmWTEaxa。由于xxammWTdta)(=0,则2)(txWTEa=2')(txWTEa。噪声)('tx可以看成白噪声)(tn驱动的某个线性滤波器的输出。即)()('thtx*)(tn,则)('txWTa=)(th*)(tn*a(t)。设)(nS和n2分别是)(tn的功率谱和方差，)(a和)(H分别是)(ta,)(th的FT,则2')(txWTEa=dSHna)()()(2122=dHan222)()(2。（3-8）令maxc))((2H,'c=22cn,则2')(txWTEadca2)(=dac2)(=dac2')(=ac'，所以，随着尺度a的增大，2')(txWTEa趋于零,也即是2)(txWTEa随着a的增大趋于零。一般说来，机械设备在正常运转时，系统输出的信号由确定性信号和平稳随机噪声叠加而成，其小波变换是两部分小波变换之和。由上述预备定理，并根据小波奇异性理论的相关结论可知，确定性信号边沿对应的小波变换的模极大值随着尺度因子的增大将增大，或随着噪声的影响缓慢衰减。然而，平稳随机噪声作为平稳随机信号的一种，其小波变换的模极大值将随着尺度因子的增大而迅速衰减。因此，在大尺度下，信号的小波变换的模极大值将主要属于确定性信号的边沿。而机械故障信号的出现对应于确定性信号的边沿。根据这一原理，结合小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在的一一对应关系，可以将信号的故障点与平稳噪声区别开来，实现机械故障的检测。小波函数的选取信号奇异点可通过信号的小波变换局部极大值来定位，而奇异性运用该点的Lipschitz来定量描述。运用该理论来实现信号的奇异性检测，比常规手段更优越。需要注意的是:选择不同的小波分析信号的奇异性及奇异性位置和奇异度的大小，其检测效果也不一样，因此，选择合适的小波非常重要。在第二章我们介绍了常见的小波函数，以及不同的小波函数的用处，目前没有一定的规则来断定如何选择小波基。在实际中,Morlet小波运用领域较广,可以用于信号表示和分类、图像识别、特征提取;墨西哥草帽小波用于系统辨识;对于数字信号往往选择Haar或Daubechies作为小波基;另外还有根据小波函数的消失矩来选择小波基波。本文主要是机械故障的诊断，因此选择Daubechies小波基函数。Daubechies(dbN)小波系Daubechies小波函数中,除了db1(即Haar小波)外,其他小波没有明确的表达式。通常Daubechies系中的小波基记为dbN,N为序号,且N=1,2,⋯,10。Daubechies小波的特性:具有正交性、双正交性和紧支集,可以进行连续小波变换(CWT)、离散小波变换(DWT),但不具有对称性,支集宽度为2N-1,小波函数的消失矩数为N,规则性系数随阶数的增大而增大,对于大的N,规则性系数大约为013N,而Daubechies小波函数的阶数严格为正整数。小波基波选择的标准在故障的奇异性检测中,信号的奇异点可以从其小波变换的小波系数模极大值中检测出来。其基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数α0时,其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当α0时,则随尺度的增大而减小。也就是说在一个合适的尺度下,通过小波变换,根据小波系数模极大值和奇异点的关系,能够检测出信号的奇异点。本文提出的基于小波规则性系数相似性选择小波基,主要是从小波分析和Fourier变换的基本思想相似,Fourier变换是以正弦为基波,用其各次谐波来近似某一函数,其中Fourier系数代表了各次谐波分量在函数中的权重,这一权重实质上表明了各次谐波和这一函数的相似性;而小波分析是利用小波的窗函数特性来分断逼近,而小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度[4]。同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微性和平滑程度,这样按相似性,可以用平滑的小波,即规则性系数大的小波,来表示平滑的函数;用不平滑的小波,即规则性系数小的小波,来表示非平滑函数。需要说明的是这里的相似不是绝对的相等或非常接近,只是表示一种趋势。这一思想和利用小波消失矩选择小波函数有着一致性,因小波的规则性系数和小波的消失矩有着同向的变化趋势,这可从Daubechies小波的消失矩和其小波规则性系数的关系看出,见表1。表1部分db系小波规则性系数表小波名称db1db2db3db4db5db7db10规则性系数00．50．911．271．592．152．90不同小波基对信号奇变检测仿真1)不同小波基对突变信号突变点检测当信号产生突变时,在突变点处含有高频成分,并且信号形状还很不规则。用Daubechies小波族的部分小波对阶跃信号阶跃点检测来说明不同小波检测的差异。Daubechies小波族的db1,db2,db3,db4,db6,db9对阶跃的点检测结果,如图1所示。从图1中可以发现db1的检测结果最好,这是因为阶跃信号的阶跃点是突变点,且其Lips2chitz指数一致为0,而db1小波的规则性系数也是0,就是说它们在信号的阶跃处有着最大的相似性,因此db1能最有效地刻画出阶跃点的特征。db3,db5,db7和db9虽也能检测出突变点,但它们所得检测图的幅值要比db1小,这是因为它们的规则性系数大,规则性好和阶跃信号在阶跃处的相似性较小。图3-1不同db系的小波函数检测突变点的差异（从上到下依次为db123469）这个结果说明小波基波会得到较好的结果。不同小波基对缓变信号的检测在实际的系统故障中也存在着大量的,如果只是检测出信号奇变的突变点,按照规则性系数相似方法,选择规则性系数较小的奇变缓变信号,对其检测的小波基的选择仍可根据小波基规则性系数来确定。这里仍用Daubechies小波族的部图3-2不同小波基波对缓变信号的检测分小波来说明,用db1,db3,db4,db5和db7在一个确定的尺度下对缓变信号进行检测,如图2所示。从最终的结果来看db5检测所得的图形和缓变信号较接近,也就是说用db5最能准确地刻画这一缓信号的特征。从图2中可以看出这一缓变信号变化比较平稳且连续,所以它自然有着较大的Lipschitz规则性指数,而db5的规则性系数要比db1,db3和db4大,这就说明了对缓变性信号的检测要用规则性系数较大的小波做小波基效果会更好。当然也不是越大越好,db7的检测结果和实际信号的差别要比db5的结果和实际信号的差别更大就说明这一点,这要考虑到相似性。这也说明缓变信号检测的小波基的选择要比突变信号困难一些,并且在实际系统中不可能算出系统输出信号的规则性系数。实际中往往可通过系统观测信号是否光滑连续,按照规则性系数相似方法,在一定范围内选择小波基,并要用不同小波基反复尝试比较,才能最终确定。另外,小波变换是一个尺度可变的信号分析方法,可在不同的尺度下对信号进行处理。因此,即使小波基选定,如尺度不合适,也很难对信号进行有效地分析,特别是对缓变信号。因为突变信号可将尺度尽量选小一点,总可以将突变点检测出来,对缓变信号,如尺度不适当会使分析结果产生很大的差异。用db3小波对上面的缓变信号在不同尺度下进行检测,结果如图3所示。图3-3db3小波在不同尺度下对缓变信号检测结果d1,d2,d3,d4和d5分别对应不同的尺度。从图中可以看出d4所用尺度最能体现这一缓变信号的变化趋势,而其他各层的结果和实际相差较大。同时也说明对缓变信号的检测要在相对较大的尺度下,这是因为小波在大尺度下其变化趋势比在小尺度下要平缓,换句话说其规则性增大了,从而和缓变信号的规则性系数变得接近了。图中的结果也说明了这一点,因d4的尺度要比d1,d2,d3大,但又不是越大越好,d5的尺度比d4的尺度要大,但效果却比d4差就说明这一点。所以对缓变信号的检测,小波变换尺度的选择也很关键。综上述，本文主要采用db3小波对故障信号进行分解！故障点的定位与分析现在我们来看看以上实验，我们的原始信号是一个等幅周期性很强的两组正弦信号组成，其幅值相同，当我们从原始信号里是看不出故障点的定位的，我们采用传统的傅利叶变换也不能得到其准确的位置！现我们采用db3小波单层分解，其图如3-4所示。图3-4利用模极大值定位奇异点通过这次实验，我们有如下结论：通过模极大值定位奇异点，我们可以清楚地看到故障信号的奇异点的位置，大约在499左右，其模极大值为-0.6247，t=500点左右的模变化量为0.9918，远远超过正常变动范围0.75。实验及仿真MATLAB简介MATLAB是美国的MathWorks公司推出的一个科技应用软件。它的名字是由MATRIX（矩阵）和LABORATORY(实验室)[18]这两个词的前三个字母组合而成。MATLAB是主要面