基于最小二乘解的圆周分布孔位置度评定06-709

基于最小二乘解的圆周分布孔位置度评定刘东摘要：本文介绍了具有圆周分布特征的孔组位置度评定的优化处理方法，该方法可以减小或消除因测量方法选择不当带来的测量误差，避免了把合格品误判为不合格品的风险，防止了由此带来的经济损失和资源浪费。关键词：孔组位置度、最小二乘解一、问题的提出：在柴油发动机零件上，有许多按某一特征分布的加工孔组，通常需要对这些孔进行位置度评定。评定这些位置度的通常做法是：1、使用专用位置度量规；2、使用三坐标机进行测量评价。1）专用位置度量规是一种定性的评价位置度是否合格的传统方法。它的优点是使用简便和有效，缺点是①制作周期长、效率低，特别是大尺寸的孔组位置度评定尤其如此。②它不能定量确定孔的位置度大小和方向，无法向大规模生产及时提供设备调整参数。③位置度规的制作时会产生误差，这种制作误差传递给测量过程时，也会造成误判。③专用位置度量规从制造到维护存放、周期检定，直至该专用量规最终报废（或该专用量规到了使用寿命，或所检零件已被新产品所取代），整个过程都需要耗费资源。2）三坐标通用性强，可以高效快捷的测量出各种孔组的空间位置尺寸，并且快速完成位置度的评定。三坐标处理此类问题表现出来的高精度、高灵活性是其他任何仪器无法与之相比的。此外，它还可以明确的显示出各孔的位置信息和误差信息，为现场生产设备提供及时准确有用的调整参数。它是现代机械制造业广泛采用的一种方法。图1但是，对其中一类孔组位置度的评定，三坐标给出的结果并不理想。这类孔组的显著特征是：缺少一个方向基准。例如图1中12个Φ10.2孔位置度评定基准只有中心孔A。由于目前的三坐标必须建立在三基面体系的基础上才可以进行测量和评定。当图纸没有明确三个基准的情况下，而又需要评价如图1所示工件孔组的位置度时，工作人员往往会任取一个孔定为方向基准，这种确认方向基准的随意性将使测量方法不一致，从而导致测量结果的不尽相同。举例说明：有一分布在同一圆周的N个孔，假设允许的角度偏差值为±1.5α：其中有3个孔，见图1（可以是不相临的，图中3个孔画成相临角，是为了便于说明）。①以0，1号孔建方向坐标，孔2，孔3的角度偏差如图2所示，且孔2，孔3是该孔组内的最大角偏差的两个孔。此时，由于孔2，孔3角偏差都小于±1.5α，可以判定该工件是合格的。图2②如果以0，2建方向坐标轴，见图3，角偏差发生了变化：3号孔的角偏差为-2α，评定结果是不合格的。图3③如图4所示，以0，3建坐标方向轴时，2号孔最大角偏差值为+2α，结果也会不合格。此例说明，同样一个合格的工件，由于三坐标选择了不同的方向基准，将有可能错判为不合格。图4由于目前的三坐标尚无处理此类问题的评价软件。操作者会随意选择一个孔定为方向轴。这样，它们的角度偏差值将因选择不同方向基准而不同。如果有N个孔就有可能在N个方向上被定为方向轴，从而产生N个不同的测量结果。二、解决方案：如前所述，三坐标在处理此类问题时，测量的数据往往还不能作为评判的依据。需要再对该孔组的几何图框进行整体的平移和/或旋转，经过这样的优化处理后才能作为最终的评定结果。成组要素的孔组位置度误差的优化评定一般比较复杂，它的函数是属于三元非线性函数。1）数学推导孔组中各孔的理论位置为（xi0，yi0），实际位置为（xi，yi）实际偏差为（Δxi，Δyi），N为该孔组中孔的个数。则：i0ii0iiiyyxxyx---------------------------------------------(1)今设经平移和旋转坐标变换后新的坐标为xi*，xi*（δx，δy分别表示沿X轴和Y轴平移，δθ表示旋转所需的调整量），则公式（1）变换为：yxi0ii0i*i*iyyxxcossinsincosyx-------------（2）因为偏差值Δxi，Δyi以及调整量δx，δy，δθ均为微量，所以公式（2）简化为：*i*iyx=yxyyxx1-1i0ii0i-------------------（3）亦即：0ii0i0ii0ixyyyyi*y-xxxxi*得各孔的位置偏差：0ii0iiixyyidyy-xxdx--------------------------（4）于是孔组位置偏差的模可表示为：di=（d2xi+d2yi）21[i=1,2,…..N]--------------（5）di是关于未知调整量δx，δy，δθ的三元非线性函数，一般情况下它的评定和判别很复杂，但对于圆周分布孔的位置度评定，用最小二乘法评定可以得到简便实用的计算公式。以下介绍用最小二乘法求解的计算过程。该法实际是求δx，δy，δθ调整量，使各孔的偏差平方和为最小。即由公式（4）、（5）得N1ii2i2N1ii2ydxddd=])xyy()yxx[(2ii2iN1ii把上式2d分别对δx，δy，δθ求偏导令其等于零，便可得到使2d为极小的必要条件:δx=－N1N1iix+δθNiiy1δy=－N1N1iiy+δθNiix1--------------------------（6）δθ=)yyiN1iiiixx（/)(212iNiiyx+（δX/)xyyN1iiN1ii)(212iNiiyx利用直角坐标与极坐标转换公式：（径ir,切ir分别为i号孔在极坐标下的径向偏差和切向偏差）iiiiiiiiiiiiiisinrycosrxrrcossinsincosyx径径切径及公式（6）可写成：δx=－N1)sinrcosr(iN1iiiyii切径δy=－N1)cosrsinr(iN1iiixii切径--------------------------（7）δθ=－N1i2iN1iir/)xsinycosr(径切径iiri取N孔的中心为原点（0，0）时，有0xN1ii，0yN1ii代入公式（7）可得到：δx=－N1)sinrcosr(iN1iiii切径δy=－N1)cosrsinr(iN1iiii切径--------------------------（8）δθ=－N1i2iN1iir/)r(径切径ir当孔组只作旋转的微量调整δθ时，公式（8）由三个独立的调整量δx，δy,δθ（三维）降为一个调整量δθ（一维）,此时公式(8)中的δx=0,δy=0。另外，我们经常会遇到孔组各孔大多呈沿圆周分布，这时ri径均相等，即ri径=r。在满足上述两条件时，用最小二乘法评定位置度的公式就变的特别简单：δθ=－Nr1切i1rNiN1iN1iiiN1r/rN1切（i为角度偏差）----（9）因为切ir=rδθ所以公式（9）也可写成：δ切r=－N1切iN1ir式（9）表明孔组需要进行的角度调整量等于负的各孔角偏差代数和的平均值。这就是我们优化处理此类事例所采用的基本公式。2）应用举例：我公司某一件号的皮带轮要求评定6个Ф11孔的位置度，该工件基准是中心孔A。图5由于图纸没有规定方向基准，三坐标只好任选一孔（记为1#孔）定为方向基准，测出各孔半径、角偏差及位置度值见表一的第3、4、5行。从表一中可以看到角度未作调整前，2#、3#、4#、5#孔已超差。按照公式（9）对工件坐标系进行角度的微量调整σθ后，调整后角度偏差和调整后位置度见表一的第6、7行。调整后，6个Ф11的位置度都已经合格。此例说明一个按原方法被误判为不合格品的零件，按照公式(9)描述的方法，经过微量角度调整后，该孔组中各孔的位置度均在公差范围内，实际上是合格品。表一孔号1#2#3#4#5#6#σθ角度名义值060120180240300半径值R=52.5+0.0569+0.1298+0.1757+0.1069+0.0034-0.0352调整前角度偏差0-0.2308-0.2044-0.3194-0.2613-0.17520.1958调整前位置度（Ф）0.11380.4967#0.5141#0.6236#0.4790#0.3286调整后角度偏差+0.1958-0.0350-0.086-0.0236-0.0655+0.0206调整后位置度（Ф）0.37720.26750.35170.31160.12030.0799三、结语：综上所述，对三坐标测量数据直接进行位置度评定的方法，由于它在建立基准坐标系时，增加了方向基准这一约束条件，不符合图纸的技术要求，有可能造成对零件合格与否的误判。而本方法是在原方法的基础上，对孔组按公式（9）作微量的角度调整。调整后，所建的基准坐标系不再把孔组中的某一孔定为方向基准，这种调整符合最小二乘原理，也基本符合技术图纸要求。当然对此类零件的合格性进行正确判断的最好方法是最小包容原则法。不过，最小包容原则法求解方法较难，不易掌握。而最小二乘解法，虽然是一种近似的评定方法，但由于它计算简便实用，所以仍可被用来作为评定这类孔组位置度的常用方法。我们的实践工作证明，这种方法可以防止把合格品误判为不合格品，对节约宝贵资源，减少经济损失也有着很重要的意义。参考文献：（1）互换性与测量技术基础计量出版社李柱主编（2）精密测量的数学方法中国计量出版社熊有伦编（3）形状和位置公差检测规定中华人民共和国国家标准单位：潍柴动力股份有限公司计量理化实验室地址：潍坊市民生东街26号邮编：261001电话：[phone]传真：[phone]邮箱：[e-mail]