基于根轨迹法的串联校正

基于根轨迹法的串联校正注意：1）一般了解根轨迹校正方法。若指标为时域指标采用；方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采用。2）重点掌握频率法的串联校正。若指标为频域指标采用。例5已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为0()(0.51)KGsss试设计串联校正环节()cGs，使得校正后系统1)静态速度误差系数150vKs；2)超调量%25%；3)调节时间2sts。解：1)求取主导极点位置由21%e100%20%，得0.4，这里取0.5。取0.02，由42snt，得4n，这里取4n。则闭环主导极点21,21223nnsjj。2）将系统传递函数化成零极点形式：02()(0.51)(2)KKGsssss011(0)(2)(2230)(2232)30(21),0,1,2ssjjll不满足则进行动态校正。3）动态校正——相当于频率法中超前校正-----------------------------------------------------以下是讨论----------------------------------------设校正装置111()()cccccszGsksp，则此时'1112()()(2)()cccKkszGssssp。注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。因此，会出现两种情况：A:校正后系统的阶数不变。——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。这里令12cszs（为什么不11ccszsp，那就白加校正装置了）则12cz，此时，'112()()ccKkGsssp阶数不变。'21112()()2()()416ccDssspKkssssss（校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等）则114216ccpKk，则114216ccpKk，则84(2)(0.51)()40.251ccssKKGsss结论：如果校正后系统的阶次要保持不变，就要选择一个极点与零点抵消，如果原系统极点很多，则选择哪一个呢？选择离虚轴较近的极点（远则作用小，消了作用也不大）B校正后系统的阶数升高。——如果升高，系统除1,2223sj外会多出来一个极点3s。此时，'1112()()(2)()cccKkszGssssp。对于单位负反馈来说，'111123()(2)()2()()()()cccDsssspKkszssssss因为1,2223sj为闭环主导极点，另外一个极点呢？则有2种可能：a):31||5Re||ss，例如，此时，取314s，则'2111()(2)()2()(416)(14)cccDsssspKkszsss，可以求出1cz，1cp111240165.6cccKkpz，则此时，207(5.6)(0.181)()160.06251ccssKKGsssb):3s与'1112()()(2)()cccKkszGssssp的某零点成为偶极子，例如，此时，设310.99csz（3s与1cz离的很近，可以作用抵消或者设130.99czs）则'21111233()(2)()2()()()()(416)()cccDsssspKkszssssssssss合并同类项，得11111111240.9922163.96215.84ccccccccpzKkpzKkzz，则111215.843.921.94cccKkpz。则此时，7.92(1.94)()3.92ccsKGss可见，校正后系统的阶数升高，按特征多项式相等求解很烦琐，容易因计算精度而出现计算错误。结论：动态校正一般按照校正后系统的阶数不变计算。此时，选择一个原系统中离虚轴较近的极点与校正装置的零点抵消。-----------------------------------------------------以上是讨论----------------------------------------3）动态校正——相当于频率法中超前校正实际校正中的动态校正只是采用校正后系统的阶数不变的情况，即实际步骤这里令12cszs，则12cz，即设校正装置11(2)()ccccsGsksp，此时，'112()()ccKkGsssp阶数不变。'21112()()2()()416ccDssspKkssssss（校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等）则114216ccpKk，则114216ccpKk，则84(2)(0.51)()40.251ccssKKGsss则校正后系统为'164()(4)(0.251)Gsssss，则校正后系统的04vK。结论：如果校正后系统的阶次要保持不变，就要选择一个极点与零点抵消，如果原系统极点很多，则选择哪一个呢？选择离虚轴较近的极点（远则作用小，消了作用也不大）问题：1ck怎么求？用18/ckK，只要知道原来系统K，就知道了1ck。特别注意：原系统的K可以随便取值（这一点不同于基于频率分析法的校正，因为该法开始按照稳态性能要求设计了原系统的K，这一K即是校正后系统的K），这是因为后面有开环增益校正。4)开环增益校正。——相当于频率法中的滞后校正。设22()cczcszGssp原来系统的04vK，因此，05012.54vvKK。取220.210cz，220.20.01612.5cczp，则0.251()12.50.01662.51czssGsss，可见是个滞后校正。5)检验设计结果；检验是否满足闭环主导极点条件，是否满足开环增益要求。'016(0.2)50(51)()()()()()()(4)(0.016)(0.251)(62.51)czczccssGsGsGsGsGsGsssssss可见，开环增益显然满足要求。这里关键要验证求出的闭环主导极点是否是真正的闭环主导极点，如果是，则所有的动态性能指标满足，因为闭环主导极点是从动态性能指标求出来的。则123()(4)(0.016)16(0.2)()()()Dsssssssssss可以求得：1,2223sj，30.21s。30.21s与()czGs中的(0.2)s成为偶极子，作用抵消，因此，1,2223sj是闭环主导极点。满足要求。结论，采用84(2)(0.51)()40.251ccssKKGsss，0.251()12.50.01662.51czssGsss可以满足性能指标要求。下面再用一道完整的例子让大家系统的了解我们的根轨迹校正法。例6：设待校正的单位负反馈系统开环传递函数为0()(0.91)(0.0071)KGssss，要求系统统性能指标为：%30%，0.25sts及11000vKs。设计串联校正装置。解：1）求取主导极点位置由21%e100%30%，得0.358，这里取0.4。取0.02，由40.25snt，得40n，这里取40n。则闭环主导极点21,211636.66nnsjj。2）验证主导极点是否在原根轨迹上把0()(0.91)(0.0071)KGssss写成零极点的形式：0158.73()(0.91)(0.0071)0.90.007(1.11)(142.86)(1.11)(142.86)KKKGssssssssss01110000()(1.11)(142.86)(0)(14.8936.66)(126.8636.66)(1636.66)67.8916.166.42117(21)Gssssjjjl因此主导极点是否在原根轨迹上。3）动态校正设111()()cccccsGsskzp，则按照阶次不变来选择，则1(1.11)()()ccccksGssp，则校正后的系统为：'101158.73()()()(142.86)()cccckKGsGsGssssp则1'3121158()(142.86)()((3)()).7ccpkDssssssssKss令10158.73ckkK合并同类项，则131303142.8632142.861600321600ccpspsks，则310157.346.4251680cspk。则1(1.11)()(46.4)cccksGss。则动态校正后系统为：'025168038()()()(142.86)(46.4)(0.0071)(0.02161)ccGsGsGsssssss所以，038vK。问题：1ck怎么求？用01158.73251680ckkK，只要知道原来系统K，就知道了1ck。4）开环增益校正要求11000vKs，则必须进行开环增益校正，0100026.338vvKK取2161.610cz，221.60.0626.3cczp，则1.6(0.06251)()26.30.0616.671czssGsss，可见是个滞后校正则'0()()()()()()czczccGsGsGsGsGsGs251680(1.6)1000(0.06251)(142.86)(46.4)(0.06)(0.0071)(0.02161)(16.671)ssssssssss5）验证：验证校正后系统的是否满足性能指标，主要验证闭环主导极点.注意验算就是解出具体的极点，看看我们说的闭环主导极点到底是不是主导极点。a)开环放大倍数一定满足要求，因为我们是按照这个倒着设计的，一定满足。b)只要是主导极点，则所有动态指标都满足（因为我们从动态指标求得的闭环主导极点）；因此，设计时，只要是验证闭环主导极点到底是主导极点即可。1000(0.06251)()(0.0071)(0.02161)(16.671)sGsssss则1234()(0.0071)(0.02161)(16.671)1000(0.06251)()()()()Dssssssssssssss可以求得：1,21636.66sj，31.61s，4155.7s。这里，31.61s与1.6()0.06czsGss中的1.6s成为偶极子，作用可以抵消。而4|||155.7|s，则41||9.75|Re|ss，可以证明1,21636.66sj是系统的闭环主导极点。结论：采用(1.11)()(46.4)c1ccksGss，1.6()0.06czsGss满足设计指标要求。——————————————————————————————————