基于模糊集理论的一种图像二值化算法

基于模糊集理论的一种图像二值化算法的原理、实现效果及代码这是篇很古老的论文中的算法，发表与1994年，是清华大学黄良凯（Liang-kaiHuang)所写，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang'sfuzzythresholdingmethod。虽然古老也很简单，但是其算法的原理还是值得学习的。该论文的原文可从此处下载：Imagethresholdingbyminimizingthemeasureoffuzziness。该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法，本文主要是对其进行简单的翻译和注释，并提供了测试代码。一、模糊集及其隶属度函数首先，我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而xmn代表图像X中点（m,n)处的像素灰度值，定义μx(xmn)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集，用专业的模糊集表达，即有：其中0≤μx(xmn)≤1，m=0,1,...M-1，n=0,1,...N-1。对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以这种关系来表示μx(xmn)的值。定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值μ0和μ1可用下式表示：上述μ0和μ1，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。因此，对于点(m,n)，我们提出如下的隶属度定义函数：其中C是一个常数，该常数使得0.5≤μx(xmn)≤1。因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即C=gmax-gmin;二、模糊度的度量及取阈值的原则模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方式已经被提及了，本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：其中香农函数：扩展到2维的图像，图像X的熵可以表达为：因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：可以证明式（6）在区间[0,0.5]之间是单调递增而在[0.5,1]之间是单调递减的，并且E(X)具有以下属性：（1）0≤E(X)≤1;（2）如果μx(xmn)=0或者μx(xmn)=1时，E(X)具有最小值0，在本文中μx(xmn)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。（3）当μx(xmn)=0.5，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。三、编程中的技巧有了上述原理，其实编程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。首先，为了表达方便，我们定义如下一些表达式：根据上述表达式，可以知道S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量，其中S(L-1)明显就是像素的总个数。我们的算法步骤如下：（1）、计算S(L-1)、W(L-1)，设置初始阈值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;（2）、计算下面算式:稍微有点数学基础的人都应该能看懂上述算式的推导原理。根据式（2）和式（3），可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为：上式中int表示取整操作。（3）根据式（4）及式（11）计算图像的模糊度;（4）令t=t+1，然后重新执行步骤2，直到t=gmax-1;（5）找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t，并作为最佳的分割阈值。为了稍微加快点速度，上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。四、参考代码：publicstaticintGetHuangFuzzyThreshold(int[]HistGram){intX,Y;intFirst,Last;intThreshold=-1;doubleBestEntropy=Double.MaxValue,Entropy;//找到第一个和最后一个非0的色阶值for(First=0;FirstHistGram.Length&&HistGram[First]==0;First++);for(Last=HistGram.Length-1;LastFirst&&HistGram[Last]==0;Last--);if(First==Last)returnFirst;//图像中只有一个颜色if(First+1==Last)returnFirst;//图像中只有二个颜色//计算累计直方图以及对应的带权重的累计直方图int[]S=newint[Last+1];int[]W=newint[Last+1];//对于特大图，此数组的保存数据可能会超出int的表示范围，可以考虑用long类型来代替S[0]=HistGram[0];for(Y=First1?First:1;Y=Last;Y++){S[Y]=S[Y-1]+HistGram[Y];W[Y]=W[Y-1]+Y*HistGram[Y];}//建立公式（4）及（6）所用的查找表double[]Smu=newdouble[Last+1-First];for(Y=1;YSmu.Length;Y++){doublemu=1/(1+(double)Y/(Last-First));//公式（4）Smu[Y]=-mu*Math.Log(mu)-(1-mu)*Math.Log(1-mu);//公式（6）}//迭代计算最佳阈值for(Y=First;Y=Last;Y++){Entropy=0;intmu=(int)Math.Round((double)W[Y]/S[Y]);//公式17for(X=First;X=Y;X++)Entropy+=Smu[Math.Abs(X-mu)]*HistGram[X];mu=(int)Math.Round((double)(W[Last]-W[Y])/(S[Last]-S[Y]));//公式18for(X=Y+1;X=Last;X++)Entropy+=Smu[Math.Abs(X-mu)]*HistGram[X];//公式8if(BestEntropyEntropy){BestEntropy=Entropy;//取最小熵处为最佳阈值Threshold=Y;}}returnThreshold;}代码其实还是很简单的。五、效果：针对一些图像，我们做了如下测试：原图二值图，阈值=175上图使用OSTU等经典算法都无法获得上图的理想效果。原图二值图，阈值=67上图和其他一些二值算法的效果也是非常类似的。