基于灰色系统理论GM(1,1)预测的易变质商品最优补货模型

1华东理工大学2010——2011学年第一学期研究生《系统科学理论与方法》课程论文班级管理科学与工程学号030091492姓名李涛开课学院商学院任课教师刘刚成绩论文题目：基于灰色系统理论GM(1,1)预测的易变质商品最优补货模型论文要求：1.论文选题应是系统科学理论、方法与经济管理领域的结合，提倡与自己研究方向和研究对象的结合。2.研究内容不要大题小做，泛泛而谈，应聚焦，提倡小题精做，小题深做。3.研究过程强调定性分析和定量分析的结合，应包括理论分析、模型应用、数据计算和结论分析。4.论文格式按照已规定格式做，全文字数不少于6000字（不包括中英文题目、中英文摘要、中英文关键词和参考文献）。教师评语：教师签名：年月日2摘要：针对仓库容量有一定限制、补货间隔期不受零售商控制情况下的多周期补货问题，在是否租借仓库未知的情况下和一定服务水平约束的条件下给出一种可选择的预期的利润模型，从而确定最优补货量及最优方案，并用matlab仿真方法分析租借仓库率和随机补货间隔期的分布函数对预期利润的影响，验证模型的有效性。关键词：仓容有限；随机补货间隔期；易变质品；服务水平约束；仿真分析Abstract:Thecollectedandforecastingprofitmodelwasbrieflyintroducedfocusonaseriesofconditionssuchaslimitedinventory,stochasticreplenishmentperiods,uncertainofwhetherlendingstockornot,servicelevelconstraint.Withitwecandeterminatetheoptimalreplenishmentquantityandoptimalpolicy.AndutilizingMATLBreal-timesimulation,wecananalyzehowlendingstockrateandstochasticreplenishmentperiodseffluenttheprofit.Finallyitisprovedthatthemodelisvalidatedtothepolicy.Keywords:limitedstock,stochasticreplenishmentperiods,deterioratingitems,servicelevelconstraint,simulationanalysis3基于灰色系统理论GM(1,1)预测的易变质商品最优补货模型0引言在许多对库存问题的研究中，均假定订货由零售商发起的，Donalnson(1977)研究的是在不允许缺货且需求为线性的情况下的单一产品的最优补货策略[1]。在此基础上很多学者做了改进，如Abad等(2001)研究了在允许部分延期交货的情况下,价格和订货量都作为决策变量的一类库存问题等[26,10,11]；Sachan等(1984)研究了在允许缺货固定补货周期的情况下,易变质商品的最优补货模型,并进行了灵敏度分析[78]。而对补货周期不受零售商控制补货周期是随机变量情况下的库存优化问题研究甚少[9]。在实际情况下，在某些特殊地区零售商地理位置不占优势、或供应商在供应链中出于主导地位等都属于这种情况。另一方面，企业一般都会拥有自己的自有仓库,但是为了节约仓库运行成本,避免仓库设施的闲置和仓库空间的浪费,企业的自有仓库都会有一定的规模,所以其库存容量往往都是有限的.然而实际上企业常常遇到需要大量订货的情形,如在需求旺季需求量大而订货费高,或短缺费大于库存保管费,或大量订货能得到价格上的优惠等等。由于租借仓库的费用通常要高于自己的仓库，所以企业应考虑一个最佳的决策来确定是否需要租借仓库从而使利润最大化。杨益民，付必胜（2001）研究了仓库容量有限条件下的生产销售存贮问题，并建立了租借仓库时的存贮模型[12]；李温红（1997）研究了仓库容量有限条件下不允许缺货的存贮模型[13]；朱彦利等（2006）研究了基于线性需求和容量限制的一类库存问题，在是否租赁仓库未知的情况下和有一定服务水平约束的条件下建立了一种可选择模型[14]。但是以上文献中都是基于固定的补货间隔期进行研究的，而对随机补货间隔期的库存问题研究甚少。综上所述，本文针对以上两个问题研究了在补货间隔期是随机变量且库存容量有限的库存补货问题，并在一定的服务水平的约束下建立一个可选择模型来判断是否租借仓库，通过仿真，为企业1模型假设与分析1.1模型假设（1）两次补货的间隔期是独立的同分布随机变量；（2）允许延期交货，在每个库存周期内的延期交货率是一个特定的分数，伴有单位产品的延期交货成本；（3）补货时首先补满自己的仓库，再去补充租借的仓库；（4）不考虑运输费用和提前期；（5）为给定的服务水平，且[0,1]，其中服务水平表示有库存时间占单一周期的比例。1.2符号说明S—最大补货水平，决策变量；t—随机变量，tminttmax—两次补货的时间间隔，概率密度函数为发f(t)，概率分布函数为G(t)；H0—每个周期内自有仓库单位产品的库存持有成本；H1—租借仓库单位产品的库存持有成本，H0H1；r—客户需求率（件/单位时间）；Q—每个周期内预期补货量期望值；B—每周期拖后补定量的数学期望值；I—每周期预期库存成本；L—每周期预期的缺货损失；w—供应商把产品卖给零售商的产品单价；p—零售商把产品卖给最终用户的产品单价；—单位产品的延期交货成本；ts—所有库存水平从S减小到0的时间；t1—租赁仓库库存水平减小到0的时间；S0—自己仓库的最大容量为；—租借仓库率即整个计划期内租借仓库的周期数所占的比例；—变质率，即单位时间变质商品量占库存商品量的比例，为常数；—拖后补定量占未满足需求的百分数。41.2.1基于灰色系统理论对进行预测设时间序列(0)()t的n个观察值为(0)(0)(0)(0)(1),(2),,()()()nt，通过累加生成新序列(1)(1)(1)(1)(1),(2),,()()()nt，其中(1)(0)1()()kttt(1,2,)kn。对(1)()t进行准光滑性(0)(0)()(1)/(1)kk和准指数规律(1)(1)()()/(1)kkk检验可得一阶微分方程：(1)(1)tdabd式中a,b为参数，其解为：(1)^(0)(1)((1))atbbtaae对a,b运用最小二乘法进行估计：^^1[]()TTTabBBBY,其中(1)(1)(2)1(3)1()1zzBzn(1)，(0)(0)(0)(2)(3)()Yn这里(1)(1)(1)(1)0.5()0.5(1),(1,2,,1)zttttn通过计算出得(1)(1)t还原得^^^(0)(1)(1)(1)(1)()ttt从而解出(1)值。1.3模型建立本文的目的是确定最优补货量和是否租借仓库，使得在计划期内的总期望利润最大。假定两次补货的随机间隔期是随机分布的，并且在每个周期的开始，系统的库存都处于I状态(可分为四种情况，见图1和图2)。因此，可以用单个周期的最大利润来表示全部周期的最大利润。图1中(a)和(b)为IS0即最优补货量不高于自有仓库的最大存货量时的两种情况。(a)中，tts没有延期交货，在(b)中，tts,发生延期交货。图2中(a)和(b)为IS0即最优补货量低于自有仓库的最大存货量时的两种情况。下面就这四种情况的利润函数进行分析。用()It表示t时刻系统的库存量，()It满足()()0,0()0,dItItrttsdtdItrtstTdt(1)其中T为存贮系统的周期即两次补货的时间间隔，由(1)可得：()(1),0()(1),tstrttsItrtststTe(2)5由(2)可知()(0)(1)tstrSIe则1ln(1)tsSr，011ln(1)ttsSr(a)没有延期交货的情况(b)有延期交货的情况图1补货量低于S0时库存周期图(T：未满足需求的总量)(a)没有延期交货的情况(b)有延期交货的情况图2补货量不低于S0时库存周期图(T：未满足需求的总量)单个周期内的预期平均库存分为IS0和IS0两种情况讨论：当IS0时,概率为1－：maxmin0(1)()()00(1)()(1)()tstttststtstttsIrrdtftdtdtftdtee(3)(1)10I当：IS0时，概率为：maxmin11(2)()()100(1)()(1)()tsttttsttstttsrrIdtftdtdtftdtee(4)maxmin(2)()()011(1)()(1)()tstttststtsttttstrrIdtftdtdtftdtee(5)则单个周期的预期平均库存为：(1)(1)(2)(2)0101(1)()()IIIII(6)SSot1tS/rTSSot1tSSotS/rTSSot6单个周期内的预期的丢单成本为：max(1)()()sttLrtrtsftdt(7)单位周期内的预期的延期交货量为：max()()sttBrtrtsftdt(8)单个周期内的商品售出量（包括拖后补定量）为：maxmin()(())()ssttttQrtftdtrtsrttsftdt(9)预期利润模型为：(1)(1)(2)(2)0010011()()(1)[()]()RtspwQHIIHIHIpwLB(10)综上所述建立库存决策模型为：max()Rts.st1BQ(11)2模型求解为了说明利润函数()Rts为凹函数，得到使利润最大化的补货水平S*,首先求出R(ts)关于ts的一阶导数和二阶导数，化简得到表达式如下：max001'()[2()(1)()(1)]()ttstsrRtsrpwrHHHftdteminmin010()(1)()(1)()tststststttHrrHHftdtftdteee(12)0()[2()(1)]()HRtsrpwfts010[()(1|)]()tsttsrHGtsEettsHHree(13)其中，0pw，01，0，10HH,0r对于tminttmax()0Rts恒成立。令'()0Rts得到*ts，把*ts代入(1)tsrSe中得到*S，把*S代入(10)得到*()Rts。由结果可以看出*S是由随机间隔期的分布函数决定的。3仿真分析仿真模型中的主要参数值见表1：表1模型中的主要参数值参数maxtmintpwrH0H1S0参数值1000.30.5510070105101003.1租借仓库率的灵敏度分析设f(t)服从均匀分布，概率分布函数为G(t)=(tmax-t)/(tmax-tmin)利用计算机分段搜索算7法求出ts的数值解。关于租借仓库率的灵敏度分析可参考图3、4：图3最优补货量分布图图4预期利润分布图仿真结果表明，随着的增加，ts也随着增加，而最优订货量S成指数上升趋势。从图像中可以看出当0.65时不用租借仓库，即最优补货量没有超过自有仓库的最大库存量，而当0.65时租借仓库。从右图中可以看出随着的增加，利润值会发生很大变化，是越大越好，也不是越小越好，而是居中的某个值。在0.4时取最大值。3.2的灵敏度分析设f(t)服从0.3指数分布，则()tGt