基于灰色系统理论的辽宁省国内生产总值预测1

基于灰色系统理论的辽宁省国内生产总值预测1陈振环（辽宁工程技术大学工商管理学院，辽宁葫芦岛125105）摘要：灰色系统理论中的灰色预测法是一种对既含有已知信息又含有不确定因素的系统进行预测的方法。国民经济系统是一个典型的灰色系统，文章利用灰色系统理论中的GM（1,1）模型，依据2004年至2009年的辽宁省国内生产总值数据，建立了针对辽宁省国民经济生产总值的预测模型。得到了辽宁省2010年至2014年国内生产总值的预测值。然后将预测值与当年的真实值进行比对，表明预测效果符合要求。关键词：灰色系统理论；灰色预测；GDP；预测模型中图分类号：F201TheForecastingForGrossDomesticProductDevelopmentofLiaoningProvinceBasedonTheGreySystemTheoryCHENZhenhuan,YANGLiu(CollegeofBusinessAdministration,LiaoningTechnicalUniversity,LiaoningHuLuDao125105)Abstract:Greyforecastingmodelprovidesamethodtoforecastasysteminwhichtherearebothknowninformationanduncertainfactors.Nationaleconomicsystemisatypicalgreysystemingraysystemtheory.Inthispaper,aGM(1,1)modelwhichingraysystemtheoryisconstructedforforecastgrossdomesticproduct(GDP)ofLiaoningprovince,thenonthebasisofhistoricaldatafrom2004-2009,wepredict2010-2014thegrossdomesticproduct(GDP)ofLiaoningprovince.Comparingwiththerealdata,forecastingisoflowabsolutedeviation,somodelisidealandacceptable.Keywords:Greysystemtheory;Greyforecasting;GDP;Forecastingmodel0引言辽宁省作为全国最早发展起来的重工业基地，1978年以前其国内生产总值一直名列前茅，人均GDP仅次于京、津、沪三大直辖市。党的十一届三中全会做出改革开放的战略决策，国家战略发展重心南移。对于辽宁省来说，计划经济时的有利因素变成了不利因素，辽宁省的经济发展速度曾一度放缓，到2002年，辽宁省的国内生产总值在全国排位也从第五位降至第8位[1]。进入新世纪以来，随着国家“振兴东北老工业基地”战略的实施，辽宁省经济又焕发出强大的活力，2009年全年生产总值15212.5亿元，按可比价格计算，比上年增长13.1%，全国排名升至第七位。GDP反映了地区经济的发展水平及市场投资机会的优劣，要想使地区经济保持健康、长期、快速的发展，就必须对国民经济的发展水平进行分析，找出经济运行规律并做出有效的预测，为政策的制定及实施提供支撑。论文利用灰色系统理论，以辽宁省2004年到2009年的GDP数据作为原始数据，建立辽宁省GDP预测的灰色模型，并据此模型进行预测辽宁省2010-2014年的国内生产总值。1灰色系统理论原理1982年，华中工学院邓聚龙教授发表奠基性论文“灰色系统的控制问题”，创立了灰色系统理论[2]。灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统，灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何用已知信息去揭示未知信息[3]。目前灰色系统理论已经在市场预测[4]、招生人数预测[5]以及收入预测[6][7][8]等多个方面得到成功的应用。用灰色系统理论建立的模型是灰色模型（GreyModel），简记为GM模型，一般的GM模型是一个n阶、h个变量的微分方程模型，记为GM（n,h）模型。其中，GM（1,1）是一阶微分方程模型，形式是uaxdtdx(1)模型的建模原理如下所示[9]。1.1数据预处理对原始数据)()0(tX作一次累加生成得)()1(tX。设有原始数列)()2()1()()0()0()0()0(nxxxtX(2)作一次累加生成，得到新的序列)(,),2(),1()()1()1()1()1(nxxxtX，对GM（1,1）的微分方程作离散化处理，代入dtdx)1(，)()1(tx的近似表达式，得到ukxkxakx))1()((21))1(()1()1()1()1((3)ukxkxakx))1()((21)1()1()1()0((4)1.2参数估计用最小二乘法估计参数NTTTuaaYBBB1)(),(ˆ。取k=1，2，……，n-1,便有下列不等式组unxnxanxuxxaxuxxax))()1((21)())3()2((21)3())2()1((21)2()1()1()0()1()1()0()1()1()0((5)代入向量记号有111))()1((21))2()2((21))2()1((21)()3()2()1()1()1()1()1()1()0()0()0(EXYnxnxxxxxnxxxN(6)等式组改写为uauaN),(ΕXEXY，如果记),(EXB，Tuaa),(ˆ，上式可改写为aNˆBY，aNˆBY是关于待估参数ua,的)1(n个方程组。用最小二乘法求解，待估向量NTTTuaaYBBB1)(),(ˆ。1.3解微分方程解一阶线性微分方程，将Tuaa),(ˆ估计值带入方程(1)，有utaxdttdx)()()1()1((7)解微分方程，得到一次累加生成的时间响应函数aueauxkxak))1(()1(ˆ)1()1((8)这就是GM（1,1）模型灰色预测的计算公式。1.4模型检验首先求出)()0(kX的均值x、方差21s，其中nknkxkxnskxnx12)0(211)0())((1)(1(9)接下来求出残差)(kq的均值q、方差22s，其中nknkqkqnskqnq22222))((11)(11(10)后验差比值C12ssC(11)后验差比值C越小越好，一般要求45.0c，最大不超过0.65；小误差频率要大，其中16745.0)(sqkqp(12)不得小于0.7，模型精度等级见表1。表1精度标准Tab.1Accuracystandard等级后验差比C小误差频率P好35.0c95.0p合格45.0c80.0p勉强50.0c70.0p不合格65.0c70.0p1.5利用模型进行预测灰色模型确定以后，就可以通过改变时间响应函数的参数获得所需要的数据。2辽宁省GDP灰色预测模型2.1数据来源文中所用的原始数据全部来源于《辽宁省统计年鉴》，选取2005年至2010年《辽宁省统计年鉴》中的辽宁省国内生产总值作为原始数据，具体数据见表2。表2辽宁省国内生产总值（亿元）Tab.2TheGDPinLiaoningProvince年份200420052006200720082009GDP6872.780099251.211023.513461.615212.52.2数据处理对原始数据作出初步处理，记原始数据序列为)()0(kX，接下来我们对)()0(kX建立)1,1(GM模型。对样本数据)()0(kX，可以得到5.15212,6.13461,5.11023,2.9251,8009,7.6872)6(),5(),4(),3(),2(),1()()0()0()0()0()0()0()0(xxxxxxkX(13)对辽宁省GDP原始数据序列)()0(kX作一次累加生成，得到5.63830,48618,4.35156,9.24132,7.14881,7.6872)6(),5(),4(),3(),2(),1()()1()1()1()1()1()1()1(xxxxxxkX(14)2.3参数估计通过公式（3）（4）确定数据矩阵B，YN，用最小二乘法估计参数aˆ。由公式（3）（4），有下列不等式组uxxaxuxxaxuxxaxuxxaxuxxax))6()5((21)6())5()4((21)5())4()3((21)4())3()2((21)3())2()1((21)2()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0()1()1()0((15)代入向量记号后，得到矩阵EXY,,N111115.152126.134615.110232.92518009)6()5()4()3()2()0()0()0()0()0(ExxxxxYN(16)25.5622420.4188765.2964430.1950720.10877))6()5((21))5()4((21))4()3((21))3()2((21))2()1((21)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1(xxxxxxxxxxX(17)由等式组（15）有125.56224120.41887165.29644130.19507120.10877),(EXB(18)1111125.5622420.4188765.2964430.1950720.10877TB(19)将NTYBB,,代入NTTTuaaYBBB1)(),(ˆ式，其中847439744547395.0716970000244862.0716970000244862.0741930000000007.0)(1BBT(20)800.56957480.2013549362NTYB(21)计算得4814.619816419.0ˆuaa(22)2.4建立模型将4814.619816419.0ˆuaa代入一阶线性微分方程uaxdtdx，建立辽宁省GDP预测模型4814.6198)(16419.0)()1()1(txdttdx(23)根据1.3节公式（8），其时间响应函数为46.3775158.44624))1(()1(ˆ16419.0)1()1(kakeaueauxkx(24)2.5模型检验根据原始数据)()0(kX序列，可以得到)()0(kX序列的均值和方差，计算过程可以运用Excel软件来完成，具体值如下所示42.1638)5.152126.134615.110232.925180097.6872(61)(11)0(nkkxnx(25)29.8676619])42.16385.15212()42.16386.13461()42.16382.9251()42.16388009()42.16387.6872[(61))((12222212)0(21nkxkxns(26)61.294529.867661921