基于线性二次性最优控制在航空发动机的应用

青岛科技大学学报（自然科学版）1基于线性二次性最优控制在航空发动机的应用陈亚斐（青岛科技大学，青岛，266042）摘要：在多变量反馈控制系统设计方法中，线性二次型最优控制方法由于具有无穷大的幅值裕度和大于60°的相位裕度而倍受人们的关注。在Matlab下以建立的模型作为被控对象，针对发动机在飞行包线范围内动态参数变化大、不确定因素显著的情况，提出了一种基于优化理论的最优控制方法。设计出的LQR控制器具有性能优良、控制能量合理的优点。关键词：LQR控制；线性二次型；Matlab；极点配置中图分类号：TP273文献标识码:ATheApplicationinAeroengineBasedontheLinearTwoTimeOptimalControlCHENYa-fei（QingdaoUniversityofScience&Technology，Qingdao，266042）Abstract:Inthedesignofthecontrolsystemofmultivariableslinearfeedback,twooptimumcontrolmethodhasinfiniteamplitudemarginandphasemarginisgreaterthan60°attractspeople'sattention.InMatlabtoestablishthemodelasacontrolledobject,theengineinflightdynamicparameterscopechanges,uncertaintyfactorssignificantly,proposedakindofoptimalcontrolmethodbasedonOptimizationtheory.TheLQRcontrollerdesignedwithexcellentperformance,reasonablecontrolofenergyKeywords:LQRcontrol；Thetwotypeoflinear；Matlab；Poleassignment0引言航空发动机建模一直是航空发动机领域的重要研究方向，是航空发动机控制系统半物理仿真试验、检验控制器性能的基础。目前，控制系统研究中应用的发动机模型大部分是由FORTRAN或C语言等编写的部件级模型，基于这些语言的发动机模型在进行控制系统研究时常常遇到的难点是该平台缺少控制和分析方面的工具。所以,迫切需要一种可以快速实现控制系统分析、诊断的图形化仿真平台，能通过图形用户界面直接了解控制参数和发动机参数;并具有将控制系统设计转化为实时代码的能力。用面向图形对象方法建立某型双轴涡扇发动机的模型仿真系统，旨在建立一种方便灵活的发动机仿真平台，能轻易访问或修改发动机的各种参数,并且利用其强大的工具库可以快速实现系统的控制测试和诊断。1数学模型介绍随着数字电子计算机在工程计算中的广泛应用，在建立发动机稳态数学模型时，可以考虑越来越多的复杂因素的影响，使稳态模型的逼真度大大提高。首先我们以双轴发动机为例研究其动态方程。为了简化分析，只考虑发动机转子为储能部件。由于部件热观惯性相对于转子惯性小得多，而且热部件自身及其热部件周围介质之间的非定常传热是非常复杂的物理过程，本文所介绍的方法不考虑一些物理过程。根据假设，发动机的动态特性取决于两个转子的力矩平衡方程，即3030HHHLLLdnJMdtdnJMdt(1)2式（1）中HJ，LJ—发动机高、低压转子的转动惯量；HM，LM—发动机高、低压转自的剩余力矩。根据发动机原理，高低压转子的剩余力矩为：1**11**1(,,,,,)(,,,,,)HTHcHfrHHLfeLTLcLfrLHLfeMMMMnnmApTMMMMnnmApT（2）式（2）中frHM，frLM分别为高、低压转子的摩擦力矩，其相对值很小可以忽略不计。对于加力发动机其高、低压转子的剩余力矩为：**11**11(,,,,,)(,,,,,)HfrHHLfeLfrLHLfeMMnnmApTMMnnmApT（3）对上面的方程线性化，得0000**0101**110000**0101**11()()()()()()()()()()()()HHHHLHLHHfefeHHLLLHLHLLLfefeLLMMMnnnnMMmAmAMMpTpTMMMnnnnMMmAmAMMpTpT（4）为了简便起见，假设飞行条件不变，这样就可以去掉干扰量的输入，即*1p、*1T都为零。将上式代入式（2）中得到_11121112_21222122HHLfeLHLfenananbmbAnananbmbA（5）式中1101201101202102102102203030(),(),3030(),(),3030(),(),3030(),()HHHHHLHHHfHeLLHHHLLLHfHeMMaaJnJnMMbbJmJAMMabJnJnMMbbJmJA。（6）方程组中两式分别为高、低压转子的运动方程式。只考虑转子惯性条件下，发动机沿各截面的压力、温度、以及发动机推力都是转速、控制量和干扰量的函数，于是有：**11(,,,,,)HLfexxnnmApT(7)x表示除了转速以外的发动机任意参数。在双轴发动机中当只考虑两个独立转子部件为储能元件时候，状态量数是两个。或者双轴发动机是用二阶线性微分方程描述的动态系统，状态变量也是两个。如果我们取Hn、Ln作为状态变量组时，矩阵形式为：_11121112_21222122()()();()()()fHHLeLaabbmtntntaabbntAtnt（8）__()()(),(),()()fHLemtntxtutntAt（9）1112111221222122,aabbABaabb。（10）可写为__()()()xtAxtBut（11）2最优控制器LQR特点与原理LQR控制器是应用线性二次型最优控制原理设3计的控制器。它的任务在于当系统状态由于任何原因偏离了平衡状态时，能在不消耗过多能量的情况下，保持系统状态各分量仍接近于平衡状态。线性二次型最优控制研究的系统是线性的或可线性化的，并且性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数的积分。下面介绍具有普遍性的无限时间状态调节器的设计。设线性系统的空间状态描述为：.()()()()xtAxtButyCxt（12）最优控制的思想是找到一反馈控制律u,在时间区间0,t，将系统从非平衡状态转移到零点（平衡状态）附近，并使给定的性能指标函数取极小值二次型性能指标函数：12TTJxQxuRudt（13）式中u不受限制，Q是半正定对称加权常数矩阵，R是正定对称加权常数矩阵。一般来说，Q越大，系统达到稳态的时间越短，当然还要实际系统的允许，最优控制1TuRBPx（14）式中P为正定对称常数矩阵，满足下列Riccati方程10TTPAAPPBRBPQ（15）用Matlab求解工具(,,,)lqrABQR可以求出最优反馈系数矩阵K，调节Q、R矩阵，便可得到不同K矩阵和系统性能指标。3航空发动机LQR控制器设计3.1发动机模型为了便于设计，取高压转子转速()Hnt和低压转子转速()Lnt作为状态变量，取燃油供油量()fmt和尾喷口面积()eAt作为控制量。取飞行高度H=0,。飞行马赫数HM=0、发动机处于最大工作状态时，代入式（3）得到A，B，C矩阵：2.14890.4039,2.86263.01740.29830.5942,0.28521.7085[0.12451.0124]ABC。（16）并选取加权对角矩阵Q、R为：1122100.010,0100.010.0100.010,00.0100.01QRQR。(17）得到基本的发动机模型。3.2LQR控制器设计方法在线性定常控制系统中，状态反馈是一种重要的控制方式，本文采用状态反馈使系统获得了一些极为有实际价值的性质。如闭环系统的极点在一定条件下可以任意配置;可以使系统具有二次型性能指标最优化，运用定常线性调节器理论，选取合适的Q、R，通过求解黎卡提方程，得到线性状态反馈增益矩阵K。控制系统框图见图1，输出Y为发动机转子转速，速度信号经过反馈后参与闭环控制，这里省去了状态观测的重构。图1航空发动机LQR控制器结构Fig.1AeroengineLQRcontrollerstructurediagram44MATLAB仿真LQR调节器的关键是对加权矩阵Q和R的选择，一般来说，Q选择越大，调整时间越短，然而Q选择越大，控制量越大。因此，应当考虑实际系统的可实现性。可以通过改变Q矩阵中的非零元素来调节控制器以得到期望的响应。在本设计中选择两组不同的加权矩阵Q，利用Matlab矩阵运算命令(,,,)KlqrABQR，计算到状态反馈矩阵K，最后得到航空发动机的仿真图形，通过图形分析对比，验证选择不同的加权矩阵Q对发动机转速的影响。当取Q=1Q=1001，R=0.01000.01时，利用Matlab语句(,,,)KlqrABQR可求得线性二次型最优状态反馈矩阵3.34980.73133.06138.1584K。仿真结果如图2所示。同理可求得当Q=20.01000.01Q，R=0.01000.01时，线性二次型最优状态反馈矩阵0.09570.05530.24240.2771K。仿真结果如图3所示:。图2航空发动机的输出响应（Q=Q1）Fig.2Theoutputofaviationengineresponse(Q=Q1)图3航空发动机的输出响应（Q=Q2）Fig.3Theoutputofaviationengineresponse(Q=Q2)5结论航空发动机系统是一个复杂不稳定的、带有非线性和强耦合性的混合动力系统，对航空发动机系统的实时稳定性进行研究是现代控制理论的一个重要课题，也是学习与研究控制理论最为合适的实验装置之一。本文先应用航空动力学理论，建立了航空发动机系统数学模型，设计了LQR最优控制器，通过合理选择不通风控制参数进行对比实验，得出了不同控制参数对航空发动机动力性能的影响。5参考文献[1]DanielEM，MauroR.SimultaneousStabilizationWithNearOptimalLQRPerformance.IEEETransAutomatControl，2001;46(10):1543—1555[2]张加桢，化凯，郭迎清，等.航空涡轮喷气发动机双变量控制系统设计.航空动力学报，1990;5(1):76—78[3]章霖官，刘爱萍，林青峰.在平台上进行的涡扇发动机控制系统数字仿真第十届发动机自动控制专业学术交流会:青岛，2000[4]杨刚，孙健国，李秋红.航空发动机控制系统中的增广LQR方法.航空动力学报，2004;19(1):153—158[5]姚华，蒋平国，孙健国．“某型发动机数控系统的相似参数自适应控制研究”．航空动力学报，[6]吴麒.自动控制原理.北京:清华大学出版社，1990[7]杨刚，孙健国，李秋红航空发动机控制系统中的增广LQR方法.航空动力学报，2004，19(1):153一158.[8]曹洁，周鹏，陈希平.基于遗传算法的LQ控制器的权值优化.工业仪表与自动化装置，20