基于贝叶斯准则的最佳阈值计算

基于贝叶斯准则的最佳阈值计算[摘要]基于贝叶斯的判决方法已经得到了广泛应用，本论文旨在根据贝叶斯的理论方法给出在判决中的最佳阈值。关键词：贝叶斯，阈值，概率，代价1贝叶斯准则理论基本概念模式识别的分类问题是根据识别对象特征的观察值将其分到某个类别中去，贝叶斯准则理论方法是统计模式识别中的一种基本方法【1,2】，贝叶斯准则判据既考虑了各类参考总体出现的概率大小，又考虑了因误判造成的损失大小，判别能力强。其基本思想是，已知类条件概率密度参数表达式和先验概率，利用贝叶斯公式转换成后验概率，根据后验概率大小进行决策分类。用这种方法进行分类时要求两点：（1）要决策分类的参考总体的类别数是一定的，例如两类参考总体（正常状态和异常状态）。（2）各类参考总体的概率分布是已知的，即每一类参考总体出现的先验概率P(H1)以及各类概率密度函数P(x/Hi)拭是已知的。显然，∑p(Hi)i=1.在某种检测系统中，信源假设只有两种可能的输出信号，把它记为假设H1有和H0无。先验概率，预先己知的或者可以估计的模式识别系统的某种类型的概率，其中所有类型的先验概率和为1。信源的输出信号经概率转移机构以一定的概率映射到整个观测空间R中，生成观测量(X/H1)和(X/H0)，将观测空间R划分为两个判决域R0和R1，观测值(X/H0)可能在域R0，可以判决假设H0成立，记为(H0/H0);观测值可能在域R1，当判决假设H1成立，记为（H1/H1）；类似地，观测值为（x/H1），判决结果可能为(H0/H0)，也可能为（H1/H1）。意思就是说，在这二元信号检测情况下有四种可能的判决结果，两种错误判决结果。我们把这四种判决结果统一地记为（Hi/Hj）（i，j=0,1）。现在将二元信号情况的判决结果归纳在表中：二元信号判决结果概率判决假设H0H1H0（H0/H0)（H0/H1）H1（H1/H0）H1/H1）对于每个判决结果（Hi/Hj）都存在相应的判决概率，即为P(Hi/Hj),在假设Hj为真的情况下，判决假设Hi成立的概率。观测量(X/Hj)落在域Ri判决假设Hi成立，所以可以表示为:P(Hi/Hj)=∫P(X/RiHj)dx（i，j=0,1）在二元信号情况下，有四种判决结果，其中两个是正确的判决结果，所以有四种判决概率其中两个为正确的判决概率。就判决概率而言，我们总是希望正确的概率尽量大，错误的概率尽可能小，就关系到判决域的正确划分问题。下面是二元信号的判决概率归纳：二元信号的判决概率判决假设H0H1H0（H0/H0)（H0/H1）H1（H1/H0）H1/H1）2贝叶斯准则上面我们已经指出二元信号检测的结果对应着四种判决概率。判决概率是整个检测系统的重要因素之一。在某种监测系统中，对于有无两种状态的先验概率并不相等，那么先验概率大的假设所对应的错误概率对于检测性能的影响大于另外一个错误概率的影响。应该还要考虑假设H0和假设H1成立的先验概率P(H0)和P(H1)。另外，还必须考虑各种判决所付出的代价都是不一样的，所以我们还应该对应每种可能的判决赋予代价，用代价因子cij表示。假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价。贝叶斯准则就是在知道假设的先验概率，在检测信号的时候需要选定合适的阈值，即寻求一种最佳的判决规则，各个判决代价因子cij给定的情况下，使决策引入的平均代价达到最小。对于假设Hj（i，j=0,1）为真而判决假设Hi（i，j=0,1）成立的情况，判决概率为P(Hi/Hj)，代价因子为cij。所以我们在假设为真的判决所付出的平均代价为[3]:考虑到假设Hi出现的先验概率p(Hi)，则判决所付出的总平均代价为:在二元信号检测总观测空间R划分为域R0和R1域：那么：其中代价因子Ciji=jCjj,因为Cjj表示正确的代价，通常情况我们令它为0，要使整个系统中最后的代价最小，就是要使上面式子的C最小，既要使得被积函数为负数。即:把满足上面式子的X划分给域R0，判决假设H0成立;相反把不满足这样的X划分给域R1，判决假设H1成立。把上式化简为:把似然比函数定义为概率密度P(X/H1)与P(X/H0)的比值，不依赖于假设的先验概率，也不依赖于代价因子，对于不同的先验概率和代价因子的情况，具有不变性。即:我们把由先验概率和代价因子决定的常数称为似然比检测门限。即为：根据式子似然比函数定义和似然比检测门限的定义，整理后得似然比检验判决式为：λ（X）η判为：H1λ（X）η判为：H0下面是实现二元信号判决的原理框图:在贝叶斯准则中当我们选择代价因子选择C01=C10=1,C11=C00时，贝叶斯准则就成了最小平均错误概率准则，可见最小平均错误概率准则是贝叶斯准则的一个特例。参考文献[1]龙永红土编概率论与数理统计第二版北京高等教育出版社，2004[2]鞠德航，林可祥，陈捷信号检测理论导论北京科学出版社，1997[3]ThmasSchonhoff,ArthurA.Giordano信号检测与估计电子工业出版社2007