基于非线性系统的微弱通信信号检测

单摆是最简单的混沌振子模型，在其摆幅不受限制时，表现出令人匪夷所思的复杂运动。为了简化问题，对单摆模型做一些理想化假设，把摆线换成刚性细棒，忽略摆线自身质量，即系统全部质量集中在小球上，小球的半径相对于摆线长度可以忽略，小球理想化为一质点。如图2.1所示，设摆线长为l，小球的质量为m，相对于平衡位置的角位移为秒，重力加速度为g，则单摆的运动方程为：sincosmlrlmgFt(2.1)两边乘以1/ml，可得：20sincosrFtmml(2.2)其中、、分别表示质点m的角加速度、角速度、角位移。r是阻力常数，0g/l表示固有角频率，方程等号右边是周期性的驱动力，角频率为。将式(2.2)系数归一化可得：2sincosft(2.3)其中0/2rm为归一化阻力系数，20//fFmlFmg和0/分别表示周期驱动力的归一化幅值和归一化角频率。系统在无阻尼、无驱动时，即0、0f。此时式(2.3)可以简化为：sin0(2.4)该系统为Hamilton量，系统的Hamilton量H等于系统的总能量，单摆系统没有阻力和驱动力的情况下，系统的总能量不变，所以系统的Hamilton量H是一个恒定不变的量，其值为：2cos2H(2.5)假设系统0，即质点的速度为0，此时质点处于最大摆幅处，H，代入式(2.5)可得：cosHH(2.6)令sin211sinsin22sin2HkHxxk，求解该表达式，可以得到：2arcsinkx(2.7)对2arcsinkx分别求一阶导数、二阶导数得到、，如下：2221kxkx(2.8)3222322()1(1)22kxkxxkxkx(2.9)将上面求得的、、代入(2.4)式可得：23222222211kxxkxkxkxkx(2.10)由、、的表达式可得：2222222222211cos1142kxkxxHkxxkk(2.11)把(2.11)代入式(2.10)可得：223120xkxkx(2.12)将上式标准化，得到无阻尼、无驱动的Duffing方程：30xaxbx(2.13)现实中是不可能存在既没有阻尼也没有驱动的系统，所以加上阻尼和周期驱动力的Duffing方程为：3xkxaxbxst(2.14)其中𝑘为阻尼系数，𝑎𝑥+𝑏𝑥3表示非线性的恢复力，𝑠(𝑡)表示与时间有关的周期驱动力。