基于非线性预报-校正内点法的电力系统

基于非线性预报-校正内点法的电力系统无功优化研究吴锴（天津市电力公司城西供电分公司天津300113）ANONLINEARPREDICTOR-CORRECTORINTERIORPOINTMETHODFORREACTIVEPOWEROPTIMIZATIONINPOWERSYSTEM［ABSTRACT］Thepredictor-correctortechnologyisappliedtononlinearprimal-dualinteriorpointmethodandalongeriterationstepcanbeobtainedbyuseoftheimprovednonlinearpredictor-correctorprimal-dualinteriorpointmethodthanpureprimal-dualinteriorpointmethod,sotheconvergencecanbespeededup.Usingtheimprovedmethodforpowersystemreactivepoweroptimizationalargenumberofinequalityconstraintsintheobjectivefunctioncanbeeffectivelydealtwith.Thesimulationresultsfromfourtestsystems,i.e.,IEEE14-bussystem,IEEE30-bussystem,IEEE57-bussystemandIEEE118-bussystem,showthattheimprovedalgorithmpossessesfastconvergencespeedandgoodrobustness.［KEYWORDS］Powersystem；Reactivepoweroptimization；Predictor-correctorinteriorpointmethod；Nonlinearprimal-dualinteriorpointmethod［摘要］在非线性原-对偶内点法的基础上引入了预报-校正技术，使改进后的非线性预报−校正内点法获得了较纯原-对偶内点法更大的迭代步长，从而加速了算法的收敛。应用该方法求解电力系统无功优化问题时能有效处理目标函数中的大量不等式约束。IEEE14节点、IEEE30节点、IEEE57节点和IEEE118节点系统的仿真结果表明，该算法收敛快、鲁棒性好。［关键词］电力系统；无功优化；预报-校正内点法；非线性原-对偶内点法1引言电力系统无功优化问题在数学上是一个多变量、高维数、多约束、离散和连续变量共存的非凸、非线性规划问题，可利用逐次线性规划法、逐次二次规划法、非线性规划法、牛顿法等来求解[1,2]。但这些方法收敛较慢，而且对不等式约束的处理都不太理想，甚至可能出现数值稳定问题。1984年AT&T贝尔实验室的印度数学家Karmarkar提出了一种新的内点法，该算法的速度极快，引起了优化问题研究领域大批学者的关注。1991年Clements首先将内点法用于求解电力系统状态估计问题，此后，内点法在电力系统优化运行中得到了广泛应用。文献[3]将线性内点法应用于大规模电力系统的优化问题，求解了巴西一个1832节点和北美一个3467节点系统的无功调度问题。文献[4]应用原对偶仿射尺度内点法求解无功优化问题，该方法属于线性规划法的范畴，需将目标函数和约束条件线性化。文献[5,6]用二次内点法求解无功优化问题，保留了目标函数的非线性特性，但约束条件仍需线性化。由于无功优化问题本身具有强非线性特性，因此无论其目标函数还是约束条件线性化后必然引起误差。文献[7]比较了应用线性和非线性内点法求解无功优化问题的执行效果，并指出非线性内点法的优化效果优于线性内点法。因此，近年来人们都致力于非线性内点法的研究。文献[8]将同伦方法与非线性内点法相结合，成功求解了几种极端情况下的无功优化问题，但由于引入了同伦变量，故算法的计算用时较长，几乎为内点法的2倍，而且只在小型系统上验证了方法的有效性。随着互联电网规模的扩大，对大型电力系统全局无功优化算法的计算速度和收敛性的要求也越来越高。本文所采用的非线性预报−校正内点法将问题的求解分成预报和校正两个阶段进行，首先在预报阶段求出仿射方向，然后在校正阶段对其进行校正从而得到牛顿方向。该算法能获得较大的迭代步长，具有良好的收敛特性和鲁棒性，近年来深受人们的青睐。本文将该算法应用于电力系统的无功优化，仿真结果表明了该算法的有效性和实用性。2无功优化的数学模型电力系统无功优化问题的数学模型可表示为：hxhhxgtsxf)(0)(..)(min(1)式中，X为包括控制变量和状态变量的N维列向量；N为变量数目；目标函数为全系统网损f(x)最小。其中niijijjijiijVVVVGxf122)cos2()(式中：n为系统节点数目，ij表示节点j与节点i之间有线路相连；iV、jV分别为节点i、j的电压幅值；ijG为节点i、j之间的电导；ij为节点i、j的电压相角差。0)(xg为等式约束，即潮流平衡方程njijijijijjiLiGiiBGVVPPP10)sincos(njijijijijjiLiCiGiiBGVVQQQQ10)cossin((2-5)（i=1,2,…,n）式中：GiP、GiQ分别为节点i处的发电机有功和无功出力，若该节点未接发电机则其值为零；LiP、LiQ分别为节点i的有功和无功负荷，若该节点处无负荷则其值为零；ciQ为节点i处的无功补偿装置的无功输出，若该节点处没有无功补偿装置则其值为零；ijG为节点i，j之间的电导，ijB为节点i，j之间的电纳。本文考虑的不等式约束条件有：发电机节点无功出力的约束，STATCON的电流幅值约束，电容器电纳的约束，节电电压幅值的约束，可调变压器变比的约束，各支路传输功率约束，不等式约束hxhh)(表示如下：GiGiGiQQQgn个CiiCCiIIIIcn个CiCiCiBBBBcn个(4-3)iiiVVVn个ijijijTTTTS个lijiijijijijjiijlPGVBGVVPP2)sincos(lS个本文的主要目的是突出优化算法，因此对离散变量未做像文献[9]那样的特殊处理，而是仍将离散变量当作连续变量处理。3预报—校正内点法预报—校正内点法的思想是由Kojima、Mizuno和Yoshise于1989年提出的，后来Mehrotra对该方法做了大量研究并在1992年取得成功。与原对偶内点法相比该算法在每次迭代中只增加了一次前代回代计算，但可以明显减少收敛次数，优化速度明显提高。1994年Wu等[10]首次将该方法应用于求解电力系统最优潮流问题。预报校正内点法获得成功应用的关键是：将增加了高阶信息的牛顿系统分两步来计算，第一步是预报，得到仿射方向；第二步是校正，得到校正方向，从而使牛顿方向可以高阶近似逼近中心路径。两步计算用的是同一个系数矩阵，只需进行一次因子化，与常规内点法相比只在每步迭代增加了一次前代回代计算。引入松弛变量rrRuRlul,,0,0，r为全部不等式约束的个数，将式(2-1)中的不等式约束转化为等式约束，并将目标函数改造为障碍函数，可得：rjrjjjulxf11)lnln()(min(4-4)..ts0)(xg0)(huxh0)(hlxh式中，为扰动因子（或称障碍参数）。显然，式(4-4)是只含等式约束的优化问题，可以直接用拉格朗日乘子法求解，其拉格朗日函数为：])([)()lnln()(),,,,,,(11hlxhzxgyulxfwulzyxLTTrjjrjj])([huxhwT(4-5)式中，mRy，m为式(2-1)中等式约束的个数；rrRwRz,，wzy,,为拉格朗日乘子，亦称对偶变量，且0,0wz。由KKT(Karush-Kuhn-Tucker)一阶必要条件可知：0)(0))(()()(0)(00)(011xgLwzxhyxgxfLhuxhLeUWeweULhlxhLeLZeLzeLLyxxxxwuzll(4-6)式中，e为各元素均为1的r维列向量；),...,,(21rllldiagL；),...,,(21ruuudiagU；),...,,(21rzzzdiagZ；),...,,(21r。将式(4-6)中的各等式展成泰勒级数得到：)()()())(()()())((])())(()([])([)(])([)(222xgxxgyxgwzxhxfyxgwzxhxyxgwzxhxfhuxhuxxhWeUeUWeuWwUhlxhlxxhZeLeLZelZzLTxxxxxxxxxTxTx(4-7)将式(4-7)写成矩阵形式为：0)(0000)(0)(0)(0)(00000000)(0000000xgxgHxhxhxhIWUxhIZLTxxxxTxTxyxuwlz=)())(())((xgLhuxhUWehlxhLZex+0000WeUeZeLe(4-8)式(4-8)即为预报-校正内点法的修正方程式，其中：yxgwzxhxfHxxx)())(()(222))(()()(wzxhyxgxfLxxxx记coafDD,分别为式（1-1）等号右边的第1、第2项，则式（1-1）可表示为：coafDDM2（1-2）在预报阶段先由线形方程afafDM2（1-3）解出仿射方向af，然后计算仿射迭代步长afdpaf,min（1-4）式中，p、d分别为原变量和对偶变量的迭代步长：1,,minmin00iiuiiliipuull1,,minmin00iiwiiziidwwzz式中，为安全因子，通常取=0.9995。然后计算仿射间隙：)()()()(afafTafafafafTafafafwwuuzzll（1-5）并计算仿射障碍参数2.0,)(min22afafafb（1-6）式中，wuzlTT；于是可以得出coD，即coD=0000eWUeeZLeafafafafafaf（1-7）再解线形方程：cocoDM2（1-8）得到校正方向co，于是得到总的牛顿方向（即迭代量）为：=af+co（1-9）最后，进行原变量和对偶变量的更新（k为迭代次数）：xxxpkk)()1(，yyydkk)()1(lllpkk)()1(，zzzdkk)()1(（1-10）uuupkk)()1(，)()1(综上所述，预报校正内点法的步骤为：(1)初始化：输入系统参数及不等式约束上下限值；给定原变量、对偶变量初始值，并保证松弛变量u，l0，拉格朗日乘子0,0,0wzy，障碍因子0；给定合适的中心参数＝0.1；置迭代次数k=0，最大迭代次数maxK=50；给定收敛精度ε=610。(2